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Kurs: Matematika za prvu godinu visokog obrazovanja

Modul: Neodređeni integral

Autor:

Naziv jedinice: Osobine neodređenog integrala i tablica osnovnih integrala

Materijali vezani uz ovu lekciju:

- Test osobine neodređenog integrala i tablica osnovnih integrala
- Osobine neodređenog integrala i tablica osnovnih integrala (PDF dokument)


  • Osnovne osobine neodređenog integrala

Na osnovu osobina prvog izvoda dobijaju se sledeće osobine neodređenog integrala:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mn»1«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§#183;«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§#8747;«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»,«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mi»a«/mi»«mo»§#8712;«/mo»«mi»R«/mi»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mn»2«/mn»«mo»)«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mo»§#177;«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»f«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»§#177;«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»g«/mi»«mfenced»«mi»x«/mi»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math» 

Primer 1. Naći «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» .

Rešenje:
Po osobinama neodređenog integrala dobija se:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mn»4«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mn»4«/mn»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»5«/mn»«/msup»«mn»5«/mn»«/mfrac»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mn»4«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math»

Primer 2. Naći «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» .

Rešenje:
Po osobinama neodređenog integrala dobija se:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«mi mathvariant=¨normal¨»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»-«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»t«/mi»«mi»g«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math»

  • Tablica osnovnih integrala


Na osnovu tablice i osobina izvoda, nalaze se primitivne funkcije, pa time i neodređeni integrali nekih funkcija. Tako se dobija sledeća tablica osnovnih neodređenih integrala:

 

Primer 3. Naći  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».

Rešenje:
Po osobinama neodređenog integrala dobija se:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mfenced»«mrow»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«msqrt»«mi»x«/mi»«/msqrt»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«mi»x«/mi»«mo»§#183;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»8«/mn»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«mn»8«/mn»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»9«/mn»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»-«/mo»«mn»3«/mn»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mrow»«mn»9«/mn»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»2«/mn»«mn»5«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mfrac»«mn»5«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»3«/mn»«mn»10«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»10«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Primer 4. Naći  «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»h«/mi»«mi»x«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math».

Rešenje:
Po osobinama neodređenog integrala dobija se:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mi»c«/mi»«mi»h«/mi»«mi»x«/mi»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«/mrow»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mi»x«/mi»«/msup»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»e«/mi»«mrow»«mo»-«/mo»«mi»x«/mi»«/mrow»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«mo»=«/mo»«mi»s«/mi»«mi»h«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math»


Primer 5. Naći «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/math» .

Rešenje:
Deljenjem polinoma u podintegralnoj funkciji dobija se:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfenced»«mo»:«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfenced»«mo»=«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«menclose notation=¨bottom¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»§nbsp;«/mo»«/mrow»«/menclose»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«menclose notation=¨bottom¨»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/menclose»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»§nbsp;«/mo»«mo»-«/mo»«mn»1«/mn»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

Odakle je:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»4«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»2«/mn»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfenced»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mn»1«/mn»«/mrow»«/mfrac»«/mrow»«/mfenced»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»+«/mo»«msup»«mi»x«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«/mrow»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»3«/mn»«/mfrac»«msup»«mi»x«/mi»«mn»3«/mn»«/msup»«mo»+«/mo»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»a«/mi»«mi»r«/mi»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»g«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/math»

Primer 6. Naći «math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«/math» .

Rešenje:
Koristeći odgovarajuće trigonometrijske identitete dobija se:

«math xmlns=¨http://www.w3.org/1998/Math/MathML¨»«mtable columnalign=¨left¨ rowspacing=¨0¨»«mtr»«mtd»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»1«/mn»«mo»-«/mo»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»4«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«mn»2«/mn»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mn»2«/mn»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»2«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«msup»«mfenced»«mrow»«mn»2«/mn»«mi mathvariant=¨normal¨»sin«/mi»«mi»x«/mi»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfenced»«mn»2«/mn»«/msup»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«/mtd»«/mtr»«mtr»«mtd/»«/mtr»«mtr»«mtd»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»cos«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»+«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»§#8747;«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mrow»«msup»«mi mathvariant=¨normal¨»sin«/mi»«mn»2«/mn»«/msup»«mi»x«/mi»«/mrow»«/mfrac»«mi»d«/mi»«mi»x«/mi»«mo»=«/mo»«mfrac»«mn»1«/mn»«mn»8«/mn»«/mfrac»«mo»(«/mo»«mi»t«/mi»«mi»g«/mi»«mi»x«/mi»«mo»-«/mo»«mi»c«/mi»«mi»t«/mi»«mi»g«/mi»«mi»x«/mi»«mo»)«/mo»«mo»+«/mo»«mi»C«/mi»«/mtd»«/mtr»«/mtable»«/math»

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