BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Logika i skupovi

Autor:

Naziv jedinice: Uređeni par. Dekartov proizvod

Uređeni par

Rene Dekart, francuski matematičar i filozof, uveo je pojam pravouglog koordinatnog sistema koji se u njegovu čast naziva Dekartovim koordinatnim sistemom.
U ovom koordinatnom sistemu svakoj tački ravni odgovara jedan uređeni par brojeva (x,y) i obrnuto, svakom paru realnih brojeva (x,y) odgovara jedna tačka koordinatnog sistema. Prvi broj x se naziva apscisa, a drugi y ordinata.
Često se za  neku tačku A u koodinatnom sistemu kaže da ima koordinate x i y i pišemo A(x,y).

Primer 1: U koordinatnom sistemu obeleži sledeće tačke: A(2,1), B(-3,-2), C(4,0), D(1,-1)
i E(4,-4).

Rešenje:

Za uređene parove (x,y) i (a, b) kažemo da su jednaki samo ako je x=a i y=b. Prema tome, trebalo bi razlikovati uređen par (-5,7) od para (7,-5), tj. važi (-5,7)≠(7,-5).

Dekartov proizvod

Neka su nam sada data dva skupa A i B. Ako od elemenata ovih skupova napravimo sve moguće uređene parove takve da je prva koordinata iz skupa A a druga iz skupa B, dobićemo skup uređenih parova kog nazivamo Dekartovim proizvodom skupova A i B i označavamo ga sa A×B. Zato uvodimo sledeću definiciju:

Definicija 1: Dekartov proizvod skupova A i B je skup:

A×B={(x,y)│x∈A ∧y∈B}

Važno je napomenuti da operacija × nije komutativna, odnosno važi A×B≠ B×A.
Pokažimo ovo na jednom primeru.

Primer 2: Ako je A={3,4,5} i B={e,f} odrediti A×B i B×A.
            
Rešenje:

Predstavićemo ove skupove grafički.

 A×B={(3,e),(3,f),(4,e),(4,f),(5,e),(5,f)}

 B×A={(e,3),(e,4),(e,5),(f,3),(f,4),(f,5)}.

Tvrđenje: Važe distributivni zakoni operacije × prema uniji i preseku:

1. A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
2. A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
3. (A∪B)×C=(A×C)∪ (B×C)
4. (A∩B)×C=(A×C)∩ (B×C)

Primer 3: Dokaži da važi distributivni zakon operacije × prema uniji, tj. da važi:

A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)

Rešenje:

Ako treba dokazati A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) dovoljno je dokazati da važi:

              (∀x,y)((x,y)∈A×(B∪C)⇔(x,y)∈(A×B)∪(A×C)) 
 
Krenimo od leve strane:

              (∀x,y)((x,y)∈A×(B∪C)⇔x∈A∧y∈(B∪C)⇔
             
              (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)⇔((x,y)∈A×B)∨((x,y)∈A×C)⇔

              (x,y)∈(A×B)∪(A×C))

Na ovaj način smo dokazali da su leva i desna strana ekvivalentne.

Primer 4: Ako je F={7,8,9} i G={6,7,8} odredi  (F×G)∩(G×G)

Rešenje:

               F×G={(7,6),(7,7),(7,8),(8,6),(8,7),(8,8),(9,6),(9,7),(9,8)}

               G×G={(6,6),(6,7),(6,8),(7,6),(7,7),(7,8),(8,6),(8,7),(8,8)}

               (F×G)∩(G×G)={(7,6),(7,7),(7,8),(8,6),(8,7),(8,8)}

Primer 5:  Ako skup A ima 5 elemenata, a skup B 8 elemenata, koliko će elemenata imati skup A×B?

Rešenje:

Uopšteno, broj elemenata nekog skupa S obeležavamo n(S).
Ako je n(A)=a i n(B)=b, onda će važiti n(A×B)=a·b. Zato je u ovom slučaju n(A×B)=5·8=40.