BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Trigonometrija pravouglog trougla

Autor:

Naziv jedinice: Trigonometrijske funkcije komplementnih uglova

Kažemo da su dva ugla komplementna ako je njihov zbir 90°. Zato za oštre uglove α i β u pravouglom trouglu važi α+β=90°.

Iz prethodnih lekcija znamo da se sinus i kosinus definišu na sledeći način:

Na osnovu ovoga možemo zaključiti kakav je odnos između sinusa i kosinusa komplementnih uglova:
          

Na sličan način definisali smo tangens i kotangens oštrih uglova pravouglog trougla:

Dobijamo odnos tangensa i kotangensa komplementnih uglova:

 
tgα=ctgβ                      ctgβ=tgα

Sada ćemo pokazati drugi način zapisivanja uglova. Naime, do sada smo veličinu ugla izražavali u stepenima, ali je možemo izraziti i uz pomoć broja π .

Ako  opružen ugao od 180°  označimo sa π, onda je ugao od 90° duplo manji i iznosi  . Ugao od 60° je trećina opruženog, pa ga možemo zapisati kao , dok ugao od 30° iznosi šestinu od opruženog ugla i pišemo ga kao . Često se u zadacima javlja i četvrtina opruženog ugla, pa je 45° zapravo ugao .

Uopšteno, ako neki ugao iznosi α stepeni, možemo ga zapisati u drugom obliku uz pomoć proporcije:
        
pošto  180° iznosi π, onda α stepeni predstavlja x. Zapisujemo:

180°:π=α:x

Odakle dobijamo:                                   

Na primer: ako je α=18°, onda ovaj ugao možemo zapisati i kao (18°∙ π)/180° =π/10 .

Sada možemo da zapišemo objedinjene formule za trigonometrijske funkcije komplementnih uglova:

Primer 1: Ako je α+β=90°, odrediti vrednost izraza

 Rešenje: 

Zbog komplementnosti uglova dobijamo da važi:

Primer 2: Proveriti tačnost jednakosti:
            
 a) tg54°=ctg36°               b) sin75° 20'=cos14° 40'

 Rešenje:

a) tg54°=tg(90°-36°)=ctg36°

b) sin75° 20'=sin(90°-75°20' )=cos14°40'

 Obe jednakosti su tačne!

Primer 3: Kolika je vrednost izraza ?

Rešenje:

Uglovi 21°30' i 68°30' su komplementni jer važi 21°30'+68°30'=90°.
              
Zato je ctg21°30'=tg68°30'.

Primer 4: Ako su α,β,γ unutrašnji uglovi trougla, dokazati da važi  .

Rešenje:

Za uglove trougla važi α+β+γ=180°, pa je zato  i važi komplementnost uglova.

Primer 5: Uprostiti izraz:

Rešenje:

Uglovi  i  su komplementni jer važi: