BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Racionalni algebarski izrazi

Autor:

Naziv jedinice: Stepen čiji je izložilac prirodni broj

Neka je dat realan broj a. Ako ga pomnožimo samim sobom n puta, gde je n∈N, dobijamo proizvod   , koji kraće zapisujemo aⁿ.

Broj aⁿ zovemo n-ti stepen broja a. U stepenu aⁿ realan broj a predstavlja osnovu stepena, a prirodan broj n izložilac (eksponent) stepena.

Vrednost broja a¹ je po dogovoru jednaka a.

Napomena:   

 Primer 1: Izračunati vrednost izraza:

a) 1⁵-(-1)⁴+(-1)³= 1-1-1= -1

Množenje stepena jednakih osnova

Dati su realan broj a i prirodni brojevi m i n. Izračunati a^m∙aⁿ. 

Dakle, proizvod stepena jednakih osnova a^m i a^n jednak je stepenu čija je osnova jednaka osnovi datih stepena, a izložilac proizvoda je jednak zbiru izložilaca datih stepena, tj. važi:

a^m∙aⁿ=a^(m+n)   (a ϵ R,m,n ϵ N).

Primer 2: Uprostiti izraze:

1.  2x∙(-y)∙(-xy)= 2x∙x∙(-y)∙(-y)= 2x¹⁺¹∙(-y)¹⁺¹= 2x²(-y)²= 2x² y²
2.  4x² y³∙x⁴ y⁷= 4x²⁺⁴ y³⁺⁷= 4x⁶ y¹⁰
3.  xⁿ yⁿ x^2-n yⁿ⁺¹= x^n+2-n yⁿ⁺ⁿ⁺¹= x² y²ⁿ⁺¹

Deljenje stepena jednakih osnova

Dati su realan broj a (a≠0) i prirodni brojevi m i n  (m≥n). Izračunati a^m:aⁿ. 

Dakle, količnik stepena jednakih osnova a^m i a^n jednak je stepenu čija je osnova jednaka osnovi datih stepena, a izložilac količnika je jednak razlici izložilaca datih stepena, tj. važi:

a^m:aⁿ=a^m-n   (a ϵ R,m,n ϵ N,m>n).

Primer 3: Uprostiti izraze:

1.  (x² y³ ):(xy² )= x^2-1 y^3-2= xy
2.  (x^m y^m):(x^m-1 y^m-2)= x^m-(m-1) y^m-(m-2)= x^m-m+1 y^m-m+2= xy²

Množenje i deljenje stepena istih izložilaca

Proizvod stepena jednakih izložilaca aⁿ i bⁿ jednak je stepenu čija je osnova proizvod osnova datih stepena, dakle a∙b, a izložilac jednak izložiocu datih stepena, odnosno:

aⁿ∙bⁿ=(a∙b)ⁿ,    (a ϵ R,b ϵ R,n ϵ N).

Količnik stepena jednakih izložilaca aⁿ i bⁿ jednak je stepenu čija je osnova količnik osnova datih stepena, dakle a:b, a izložilac jednak izložiocu datih stepena, odnosno:

Čitaocu se ostavlja da dokaže ova tvrđenja.

Stepenovanje stepena

Sada nas zanima koliko je (a^m)ⁿ!                              

Po definiciji stepena je: 

Zaključujemo da je  (a^m)ⁿ=a^(m∙n)     (a∈R,m,n∈N).

Primer 4: Uprostiti izraze:

Primer 5: Šta je veće 3²⁰⁰ ili 2³⁰⁰?

Rešenje: 

Primer 6:  Rešiti jednačine:

a) 6¹⁰=2^x∙3^x     

Rešenje:       

6¹⁰= (2∙3)^x       

6¹⁰= 6^x        

x=10         

b)