BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Linearne jednačine, nejednačine, sistemi, linearna funkcija

Autor:

Naziv jedinice: Sistemi tri jednačine sa tri nepoznate – Gausov metod

Dat je sistem od tri linearne jednačine sa tri nepoznate:

a₁₁x+a₁₂y+a₁₃z=b₁

a₂₁x+a₂₂y+a₂₃z=b₂

a₃₁x+a₃₂y+a₃₃z=b₃

Gausova metoda se sastoji u postepenom eliminisanju nepoznatih iz sistema i transformacijom u trougaoni ekvivalentni sistem iz koga se dobija rešenje ili se ustanovi da nema rešenja.

Pretpostavimo da je koeficijent a₁₁≠0. Isključujemo nepoznatu x iz druge i treće jednačine. Da bismo to postigli potrebno je da prvu jednačinu pomnožimo sa  i dodamo je drugoj jednačini, zatim pomnožimo prvu jednačinu sa   i dodamo je trećoj jednačini. A prvu jednačinu prepišemo. 
Sada se umesto polaznog sistema dobija ekvivalentan sistem:

Ako sada pretpostavimo da je , množenjem druge jednačine sa  i dodavanjem trećoj jednačini oslobađamo se nepoznate y iz treće jednačine.

Dobićemo ekvivalentan sistem jednačina:

Sada možemo izraziti z, a to je , kada zamenimo z u drugu jednačinu dobijamo y, zatim zamenom z i y u prvu jednačinu dobijamo i x.

Primer 1.  

     x-2y- z=-5 

     3y+4z= 8

     z=-1                  sada zamenimo z u drugu jednačinu
    3y+4∙(-1)= 8                  
                
    3y-4=8           3y=12                y=4

    Zamenimo y i z u prvu jednačinu i dobijamo x
              
    x-2∙4-(-1)=-5

    x-8+1=-5          x-7=-5            x=2

    Rešenje ovog sistema je trojka (2,4,-1)

Primer 2.    6x-4y+2z=4

                   3x-2y+z=5

                   -x+y+z=2
            

Rešenje:   Radi lakšeg računanja možemo zameniti mesta prve i treće jednačine i dobićemo ekvivalentan sistem
                

Primer 3.  -x+ y-3z=0
              
                 2x-2y+6z=0

                 3x-3y+9z=0

Rešenje:

Primer 4.     x+2y+ z=10   
  
                  2x+ y+ z= 6
                          
                  10x-y+3z=2

Rešenje:

Ovo je neodređen sistem. Stavljajući za z=t, i zamenom u drugu jednačinu dobijamo
-3y-t=-14    odnosno 

A zamenom z=t i  u prvu jednačinu, dobijamo

Dakle, rešenje sistema je

Primer 5.  –x+5y-2z=3

                2x+  y+3z=13
 
                 x+  y +  z=6

Rešenje:  

Zamenom y=2 u drugu jednačinu dobijamo z

-z+11∙2=19       -z=-3       z=3

Zamenom z i y u prvu jednačinu dobijamo x

–x+5∙2-2∙3=3        -x=-1       x=1

Rešenje je (x,y,z)=(1,2,3).