BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Linearne jednačine, nejednačine, sistemi, linearna funkcija

Autor:

Naziv jedinice: Rešavanje linearnih jednačina sa parametrima

U linearnoj jednačini oblika a∙x=b, gde je x nepoznata, koeficijente a i b nazivamo parametrima. Od njih zavisi karakter rešenja jednačine.

Koeficijenti ne moraju biti realni brojevi, već neki izrazi sastavljeni od nekih drugih parametara. Tada se prilikom rešavanja jednačina mora razlikovati više slučajeva.

• Diskusija date jednačine se vrši na osnovu sledećih pravila:

1°   a≠0
           
Tada jednačina ima rešenje   .

2°    a=0,b≠0

Tada se jednačina svodi na oblik   0∙x=b.

Može se zaključiti da ne postoji ni jedan realan broj x za koji je tačna prethodna jednakost, tj. jednačina nema rešenja. Kaže se i da je jednačina nemoguća.

3°    a=0,b=0

Tada se jednačina svodi na oblik  0∙x=0.
       
Rešenje ove jednačine je svaki realan broj x, tj. jednačina ima beskonačno mnogo rešenja. Kaže se i da je jednačina neodređena.

Konačno rešenje jednačine zavisi od toga koje vrednosti uzimaju parametri koji u njoj učestvuju.

Primer 1.      (4a-3)x-6a=(3a-4)x

Rešenje:    Sređivanjem ove jednačine, tj. prebacivanjem nepoznate sa jedne strane jednakosti dobijamo:

(4a-3)x-(3a-4)x=6a
 
(a+1)x=6a

Prema istaknutim pravilima zaključuje se:

1. Ako je a=-1, onda jednačina nema rešenja, jer bi bilo 0∙x=-6, što nije tačno ni za jedno x∈R;
   
   
2. Ako je a≠-1,  onda je (jedinstveno) rešenje jednačine 
         

Primer 2.        p² x-3p=15-5px           

Rešenje:        p² x+5px=15+3p

                       p(p+5)x=3(p+5)

              
1°       p(p+5)≠0 ⇔  (p≠0) (p≠-5)

                       jednačina ima rešenje

2°   p=0
  
      jednačina se svodi na oblik

                       0∙(0+5)x=3(0+5) 

                       0∙x=15     →      jednačina nema rešenje.

3°     p=-5

                    jednačina se svodi na oblik

                     -5(-5+5)x=3(-5+5)

                      0∙x=0      →      jednačina ima beskonačno mnogo rešenja.

Primer 3.   Rešiti jednačinu po x, za parametar m:

Rešenje:  Jednačina je definisana za m²-x²≠0

                  / (m²-x²)           množimo sa m²-x²
       
                m+x-(m-x)=1

                       m+x-m+x=1

                        2x=1

Ovo će biti rešenje polazne jednačine jedino u slučaju da je 

tj.  ,     odnosno    

           1°  jednačina nema rešenje za     

           2°  ako je        rešenje jednačine je .

Primer 4.     

Rešenje: Prvo ćemo jednačinu pomnožiti sa (x+3a)∙(x+6a),   uz uslov da je  (x+3a)≠0 , (x+6a)≠0, (odnosno x≠-3a,x≠-6a)
             
              

 / (x+3a)(x+6a)

(x-3a)(x+6a)=(x-a)(x+3a)

x²+6ax-3ax-18a²=x²+3ax-ax-3a²   

3ax-18a²=2ax-3a²

3ax-2ax=18a²-3a²

ax=15a²

                 1°  za  a≠0
                     
                        
                     
                    zbog uslova   x≠-3a →   15a≠-3a  → 18a≠0 →  a≠0
                                i        x≠-6a  →  15a≠-6a →  21a≠0 →  a≠0
                                                           (nema dodatnih uslova za a)

                     x=15a

               2°  za a=0

                   0∙x=0,      zbog uslova    x≠-3a  →   x≠0

                                                 i       x≠-6a   →   x≠0

                    x∈R\{0}

Primer 5.     (x-a)²=(x-b)²

Rešenje:    x²-2ax+a²=x²-2bx+b²

                    -2ax+a²=-2bx+b2

                    -2ax+2bx=b²-a²

                     2x(b-a)=(b-a)(b+a)

          1°  b-a≠0
 
                     b≠a

                    ,  jedinstveno rešenje    

         2°    b-a=0   
  
                     b=a
 
                     2x∙0=0∙2a

                     0∙x=0                     jednačina je  neodređena.