BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Proporcionalnost

Autor:

Naziv jedinice: Razmera i proporcija

Definicija 1:  Količnik a:b , odnosno   zovemo razmerom realnih brojeva a i b.

Definicija 2:  Ako su razmere  a:b i c:d  međusobno jednake, tj. ako važi

a:b=c:d (1)

onda kažemo da brojevi a,b,c,d, ovim redom, obrazuju prostu proporciju.
Brojevi a i d su spoljašnji članovi proporcije, a brojevi b i c su unutrašnji članovi proporcije.

Može se primetiti da je jednakost (1) ekvivalentna sa jednakošću

  (2)

Prema tome, važiće i sledeća teorema:

Teorema 1:

a) Proizvod spoljašnjih članova neke proporcije jednak je proizvodu     unutrašnjih članova te proporcije.   

b) Ako je .

Primer 1:  Dokazati da je za a,b,c,d≠0, proporcija  ekvivalentna sledećim jednakostima:

a) a:c=b:d
 
Iz pretpostavke da je a:b=c:d sledi, na osnovu (2), da je ad=bc , što je isto kao ad=cb, pa je i a:c=b:d  tačno.  

b) ak:bk=c:d



c) (a+b):(c:d), za c+d≠0

(a+b):(c+d)=a:c⇔1+b/a=1+d/c⇔b/a=d/c⇔a:b=c:d

Ako su tri člana proporcije (1) poznati brojevi, četvrti možemo da izrazimo koristeći (2). Neka je x nepoznata veličina, a vrednosti b,c,d imamo. Tada je:

Primer 2: Odredi x iz proporcije:   .
 

 
Primer 3: Odredi  x iz proporcije 0,78:0,66=0,5x:0,55.  

   
  

Primer 4:  Odrediti x i y iz sledeće proporcije: x:5=y:3, x-y=6.
    
x-y=6 ⇒ x=y+6
(y+6):5=y:3
3(y+6)=5y
5y-3y=18
2y=18
y=9, x=9+6=15

Primer 5:  Ako je , izračunaj .
  

Proporcija a:x=x:b, a>0 b>0, definiše broj x=√ab , tzv. geometrijsku sredinu brojeva a i b.

Definicija 3: Jednakost tri ili vise razmera se naziva produžena proporcija.
Na primer,

je produžena proporcija dužine 3.

Radi jednostavnijeg označavanja, to možemo zapisati i kao

a:b:c:d=m:n:p:q

Primer 6: Iz proporcija a:b=2:3 i b:c=6:7 obrazovati produženu proporciju a:b:c.
     

Primer 7:  Iz proporcija a:b=3:4, c:d=5:6, d:a=7:6 obrazovati produženu proporciju a:b:c:d.