BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvu godinu visokog obrazovanja

Modul: Linearna i vektorska algebra

Autor:

Naziv jedinice: Ravan u prostoru

• Vektorski oblik jednačine ravni

Položaj ravni R u prostoru je potpuno određen rastojanjem p ravni R od koordinatnog početka i jediničnim vektorom  normalnim na ravan R i usmerenim od koordinatnog početka ka ravni R. Ako je tačka P normalna projekcija koordinatnog početka O na ravan R, tada je . Proizvoljna tačka M ravni R čiji je vektor položaja   zadovoljava jednačinu:

Jednačina  predstavlja normalni vektorski oblik jednačine ravni. Kada je p=0 ravan R sadrži koordinatni početak.

Primer 1. Neka su temena trougla ABC tačke A=(1,1,2), B=(1,2,3), C=(-2,1,-1). Odrediti ravan paralelnu sa ravni trougla ABC na rastojanju 5 od koordinatnog početka.

Rešenje:

Vektorski proizvod vektora  je vektor normalan na ravan trougla ABC. Obrt vektora  je vektor :

Jednačina ravni može biti sa obe strane, pa se dobijaju dva rešenja:

• Skalarni oblik jednačine ravni

Neka je  vektor kolinearan sa , tj. vektor normale na ravan R i neka je M proizvoljna tačka ravni R čiji je vektor položaja , tada se vektorski oblik jednačine ravni može zapisati kao . Uvodeći oznaku  dobija se skalarni oblik jednačine ravni:

Ax+By+Cz+D=0.

Ako je ravan data u svom skalarnom obliku, tada se rastojanje ravni od koordinatnog početka računa iz formule:

Pri čemu se znak ispred korena bira tako da p bude pozitivno.

Primer 2. Odrediti normalni vektorski oblik jednačine ravni, čiji je skalarni oblik .

Rešenje:
 
Odakle se dobija traženo rešenje:

• Jednačina ravni kroz datu tačku

Neka je data tačka M₁ čiji je vektor položaja , i vektor . Ravan normalna na vektor  koja prolazi kroz tačku M1 određena je jednačinom:

Skalarni oblik jednačine tražene ravni je:

Primer 3. Odrediti ravan koja prolazi kroz taču M₁=(1,2,3) i normalna je na vektor .

Rešenje:
Iz  sledi da je jednačina tražene ravni:

0*(x-1)+1*(y-2)+1*(z-3)=0→y+z-5=0.

• Rastojanje tačke od ravni

Neka je ravan data u normalnom vektorskom obliku: .
Rastojanje tačke M1 čiji je vektor položaja     
od te ravni je:

Vrednost izraza  je pozitivna, ako tačka M₁ i koordinatni početak leže sa raznih strana ravni, a negativna ako tačka M₁ i koordinatni početak leže sa iste strane ravni.

Ako je ravan data u skalarnom obliku: Ax+By+Cz+D=0 tada važi:

Primer 4. Izračunati rastojanje tačke M₁=(-1,2,-3) od ravni 2x-y+2z+5=0.

Rešenje:
Kako je ravan data u skalarnom obliku, traženo rastojanje je

Pošto je d manje od nule, tačka M₁ se nalazi sa iste strane ravni kao i koordinatni početak.

• Ugao između dve ravni

Neka su dve ravni zadate svojim vektorskim jednačinama:  i . Tada je vektor       normalan na prvu ravan, a vektor  normalan na drugu ravan. Ugao između ravni je jednak uglu između ova dva vektora i računa se iz formule:

Apsolutna vrednost se uzima da bi se izbegla dilema da li da se kao rešenje uzme oštar ili tup ugao. Na taj način se uvek bira ugao koji nije tup.

Ako su ravni date u skalarnom obliku: A₁x+B₁y+C₁z+D₁ i A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, tada važi:

Primer 5. Odrediti ugao između ravni  i ravni .

Rešenje:
Dobija se

.