BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Racionalni algebarski izrazi

Autor:

Naziv jedinice: Rastavljanje polinoma na činioce – kvadrat i kub binoma

Teorema 1: (O kvadratu binoma) Za izraze A i B važi:

(A+B)²=A²+2AB+B²,

(A-B)²=A²-2AB+B².

Dokaz:

(A+B)²=(A+B)(A+B)=A²+AB+BA+B²=A²+2AB+B²,

(A-B)²=(A-B)(A-B)=A²-AB-BA+B²=A²-2AB+B².

Primer 1:

1.  9a²+6a+1= (3a)²+2∙3a∙1+1²= (3a+1)²
2.  
3.  (x+y)²+4(x+y)+4= (x+y)²+2∙2∙(x+y)+2²= (x+y+2)²

U prethodnom primeru primenjivali smo pravilo o kvadratu zbira i razlike kako bismo rastavili izraze koje zovemo kvadratnim trinomima. Lako se primećuje da se ono ne može primeniti na bilo koji kvadratni trinom, već samo na potpune, tj. one koji su oblika
A²+2AB+B² ili A²-2AB+B². Ipak, u nekim slučajevima postoje metode koje mogu dovesti do traženog rezultata. Navešćemo neke od njih:

Primer 2:

a. I metod:       x²+6x+8=x²+4x+2x+8=x(x+4)+2(x+4)=(x+4)(x+2)

    II metod:     x²+6x+8=x²+2∙3∙x+3²-3²+8=(x+3)²-1=(x+3)²-1²=(x+3-1)(x+3+1)=(x+2)(x+4)

Iako prvi način deluje jednostavnije, potrebno je „pogoditi“ da je 6=2+4, a 8=2*4, pa je zbog toga trinom tako rastavljen, što u složenijim primerima može da predstavlja problem. Svakako je drugi metod univerzalniji. On se sastoji u sledećem: prva dva sabirka shvatamo kao prve sabirke razlaganja kvadrata binoma, zatim dodajemo 3² da bismo dobili potpun kvadratni trinom; naravno, mora se i oduzeti taj broj i na kraju dodati poslednji sabirak 8. Prva tri sabirka zajedno daju kvadrat binoma, a sredivši ostatak, dobijamo i razliku kvadrata.

b. a²+7ab-4ab-28b²=a(a+7b)-4b(a+7b)=(a+7b)(a-4b)

c.

Teorema 2: (O kubu binoma) Za izraze A i B važi:

(A+B)³=A³+3A² B+3AB²+B³,

(A-B)³=A³-3A² B+3AB²-B³.

Dokaz:

(A+B)³=(A+B)² (A+B)=(A²+2AB+B² )(A+B)=

=A³+2A² B+AB²+A² B+2AB²+B³=A³+3A² B+3AB²+B³

        
(A-B)³=(A-B)² (A-B)=(A²-2AB+B² )(A-B)=

=A³-2A² B+AB²-A² B+2AB²-B³=A³-3A² B+3AB²-B³.

Primer 3:

1. 27a³-135a² b+225ab²-125b³=(3a)³-3∙9a²∙5b+3∙3a∙25b²-(5b)²=(3a-5b)³
2. a³+6a² b+12ab²+8b³=a³+3a²∙2b+3a∙(2b)²+(2b)³=(a+2b)³

Primer 4: Uprostiti izraze:

1. (2x-1)²+(x-2)³-(2x-1)(x-2)=4x²-4x+1+x³-3x²∙2+3x∙4-8-(2x²-4x-x+2)=
   =4x²-4x+1+x³-6x²+12x-8-2x²+5x-2=x³-4x²+13x-9
2. (x²-x+1)(x+1)-(x²-1)²-(x²+x+1)(x-1)=x³+1-(x⁴-2x²+1)-(x³-1)=x³+1-x⁴+2x²-1-x³+1=-x⁴+2x²+1

Primer 5: Primenom formula za kvadrat i kub zbira i razlike, izračunaj:

1. 99²=(100-1)²=100²-2∙100∙1+1²=10000-200+1=9801
2. 11³=(10+1)³=1000+3∙100+3∙10+1=1331