BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Linearne jednačine, nejednačine, sistemi, linearna funkcija

Autor:

Naziv jedinice: Primena sistema na rešavanje problema

Primer1.  Dva radnika mogu da završe posao za 8 časova. Desilo se da je prvi radio 6h, a drugi 9h i da su završili  deo posla.Za koliko časova može svaki odvojeno da završi taj posao?

Rešenje:

• sa x označimo vreme koje je potrebno prvom radniku da završi posao.
  
  Dakle, za 1 čas će završiti  deo posla.
• sa y označimo vreme koje je potrebno drugom radniku da završi posao.
  
  Dakle, za 1 čas će završiti  deo posla.
• u zadatku glasi da zajedno mogu da završe posao za 8 časova.
  
  biće:
• kako je prvi radio 6h, a drugi 9h završili su  deo posla
  biće:

iz I i II  sledi:

Uzimamo smenu: , pa će biti:

a +b =  1/8       / (∙8)
6a + 9b =51/56   / ∙56
                                    

8a +8b =1       / ∙(-42)
336a + 504b =51
                             
                                                    

-336a - 336b =-42 
                              +
336a + 504b =51
                              

168b=9
                     

                      
y= 18h 40min

Prvi radnik bi sam završio posao za 14 časova, a drugi za 18 časova i 40 minuta.

Primer 2. Pre tri godine otac je bio 10 puta stariji od sina, a posle 3 godine biće 4 puta stariji od sina. Koliko godina ima sada otac, a koliko sin?

Rešenje:   Godine oca obeležimo sa x, a godine sina  sa y
  
Kako je otac pre 3 godine bio 10 puta stariji od sina, biće:

x– 3 =10∙(y-3)

A kako je posle 3 godine, 4 puta stariji, biće:

x+3=4∙(y+3)  

   
Dakle, naš sistem glasi:

x-3=10(y-3)

x+3=4∙(y+3)   
                            

x-3=10y-30

x+3=4y+12
                           
                                              
x-10y=-30+3

x-4y=12-3
                     
                                            
x-10y=-27                         oduzmemo drugu jednačinu od prve
                                        -
x-4y=9
                     
                                          
-6y=-36    /: (-6)               delimo sa -6

y=6

iz jednačine x-4y=9 možemo izvući x, pa je:
     
x=4y+9

x=4∙6+9=24+9

x=33

Otac ima 33 godine, a sin 6 godina.

Primer 3.  Dva suda, zapremine 144l i 70l, sadrže izvesne količine vode. Ako se veći sud dopuni iz manjeg, u manjem će ostati 1l vode. Ako se, manji sud dopuni iz većeg, tada u većem ostaje  prvobitne količine vode. Koliko vode ima u svakom sudu?

Rešenje:
                  x - količina vode u većem sudu
                  y – količina vode u manjem sudu

Ako se veći sud dopuni iz manjeg, u manjem ostaje 1l vode, što znači da će se   veći sud dopuniti sa y-1 litara, biće:
        
                        x+y-1=144

Ako se manji sud dopuni iz većeg, u većem ostaje 3/4 prviobitne količine vode, što znači da će se manji sud dopuniti sa  odnosno  litara vode.
biće:  

              Naš sistem glasi:

                  x+y-1=144

              1/4 x+y=70   /(∙4)             množimo sa 4
                                                  
                                     
                  x+y =145
                                            -         oduzmemo prvu jednačinu od druge
                  x+4y=280
                                                   

                  x+y=145

                 3y=135
                                                    

iz jednačine x+y=145  izrazimo x,

x=145-y=145-45

x=100

U prvom sudu je 100l, a u drugom 45l vode.

Primer4. Ako se zbir brojioca i imenioca jednog razlomka podeli razlikom imenioca i  brojioca, dobije se 4. A ako se od brojioca i imenioca razlomka oduzme 2, dobija se . Odrediti razlomak?

Rešenje:     /∙(y-x);                     y-x≠0 ,  y≠0   y≠x
                    /∙(y-2)∙3                y-2≠0       y≠2
                                                      
               x+y=4(y-x) 

              3(x-2)=y-2
                                                                
              x+y=4y-4x

             3x-6=y-2
                                                   

             5x-3y=0
                                        +
             3x-y=4  /∙(-3) 
                                                  
            -4x=-12  /: (-4)

               x=3

               y=3x-4

               y=3∙3-4

               y=5

               Razlomak je .

Primer 5.  Zbir 3 broja je 80. Ako se podeli prvi broj drugim, dobija se količnik 3, a ostatak je 3, a ako se podeli treći prvim, dobija se isti količnik i isti ostatak. Odrediti te brojeve.

Rešenje:   x-prvi broj, y- drugi broj, z- treći broj

- zbir je 80:  x+y+z=80

- prvi deli drugim i dobija se 3 i ostatak 3, biće: 
                           

- treći deli sa prvim dobija se 3 i ostatak 3, biće: 

Sistem glasi: 
                        x+y+z=80

                        /∙y                 ( množimo sa y i imamo uslov da je y≠0)        
 
                        /∙x                 (množimo sa x, i imamo uslov x≠0)
                                                           

                       x+y+z=80

                       x=3y+3

                       z=3x+3 
                                                              
                       
                       x+y+z=80

                       x-3y=3
                                                 prebacili smo nepoznate na jednu, a poznate na drugu
                      3x-z=-3                  stranu znaka jednakosti 
                                                            

                    x+y+z=80

                   -4y-z=-77                 (od druge jednačine smo oduzeli prvu)

                  -3y-4z=-243               (prvu pomnožili sa -3 i dodali trećoj)
                                                               

                   x+y+z=80

                   -4y-z=-77

                    13y=65                     (drugu jednačinu pomnožili sa -4 i dodali trećoj)
                                                                
                                                   
                   

               x=3y+3=3∙5+3=18

               z=3x+3=3∙18+3=57

              To su brojevi 18, 5 i 57.