BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvu godinu visokog obrazovanja

Modul: Statistika

Autor:

Naziv jedinice: Pozicione srednje vrednosti

• Uzoračka medijana

Centralna srednja vrednost je vrednost obeležja one jedinice uzorka koja se u uredjenom nizu nizu podataka nalazi u sredini.

 Medijana se odredjuje u tri faze:

1. uređivanje niza  (rastućim ili opadajućim redom).
2. određivanje mesta medijane (M_e) (određivanje jedinice uzorka koja se u tako uređenom nizu nalazi u sredini). 
3. izračunavanje medijane.

Ako se u nizu podataka nalazi paran broj jedinica statističkog skupa (N=2m), medijana se računa kao aritmetička sredina dve vrednosti obeležja na mestu medijane:

Ako je niz podataka neparan (N=2m+1), vrednost medijane se očitava direktno nakon određivanja mesta medijane tj.

Primer 1. Naći medijanu uzorka čiji je skup vrednosti nekog obeležja {16,13,25,38,14,18,20,21}.

Rešenje: Prvo je potrebno urediti niz podataka po veličini:

13,14,16,18,20,21,25,38

Kako je obim uzorka 8, dva podatka se nalaze u sredini (na mestu medijane). Tada je medijana:

Ako je vrednost obeležja predstavljen preko grupnih intervala, tada je prvo potrebno utvrditi tzv medijalni interval (interval u kom se nalazi medijana - posmatrajući raspodelu frekvencija). Tada se medijana izračunava preko formule:

Gde je

 - donja granica medijalnog intervala, 
 - frekvencija medijalnog intervala,
d – širina medijalnog intervala, 
 - zbir frekvencija svih predmedijalnih intervala.

Primer 2. Proceniti medijanom prosečnu vrednost mesečnih izdataka za kozmetičke preparate ženske populacije uzrasta od 16 do 20 godina. Izvršeno je anketiranje 100  devojaka tog uzrasta i dobijeni su sledeći podaci:

Rešenje: Kako je obim uzorka 100, medijalni intervall je onaj koji sadrži 50-ti uzorak poređanih podataka po rastućem poretku. Medijalni interval je zato drugi po redu (3000-5500)

Medijana se tada računa po formuli: 

Gde je

- donja granica medijalnog intervala,
- frekvencija medijalnog intervala,
d – širina medijalnog intervala,
- zbir frekvencija svih predmedijalnih intervala.

I iznosi:

• Uzorački mod

Tipična srednja vrednost obeležja kojoj odgovara najveći broj jedinica uzorka. To je vrednost obeležja koja se najčešće javlja, tj. ima najveću frekvenciju. Neki uzorak može imati i više od jednog moda.

Primer 3. Izračunati mod uzorka: 5,2,4,3,6,5,4,3,5,7,8,1,4,6,4.

Rešenje: Grupisanjem i sređivanjem podataka dobija se sledeća tabela raspodela frekvencija:

Vidi se da je mod vrednost obeležja sa najvećom frekvencijom:

M₀=4.

Ako je vrednost obeležja predstavljen preko grupnih intervala, tada je prvo potrebno utvrditi tzv modalni interval (interval koji ima najveću frekvenciju). Tada se mod izračunava preko formule:

Gde je

 - donja granica modalnog intervala, 
 - frekvencija modalnog intervala,
d – širina modalnog intervala 
 - frekvencije susednih (prethodnog i postmodalnog) intervala.

Primer 4. Izračunati uzorački mod na osnovu podataka iz tabele:

Rešenje: Modalni interval je onaj sa najvećom frekvencijom. Modalni interval  je zato prvi interval po redu (500-3000)

Tada se mod izračunava preko formule:

Gde je

- donja granica modalnog intervala,
- frekvencija modalnog intervala,
d – širina modalnog intervala
- frekvencije susednih (prethodnog i postmodalnog) intervala.

Mod je:

• Kvartalna devijacija

Služi za isključenje određenog procenta elemenata statističkog skupa. Određena je izrazom:

  – gornji kvartal je ona vrednost obeležja H za koju 75% elemenata stati-stičkog skupa ima vrednost obeležja manju od  (25% elemenata ima H veće od )

  – donji kvartal je ona vrednost obeležja H za koju 25% elemenata statističkog skupa ima vrednost manju od 

Računaju se slično kao medijana:

Kao dodatni način prikazivanja podataka koristi se i pravougaoni prikaz
(Box Plot - J. Tukey)

Primer 5. Izračunati kvartalnu devijaciju sledeće serije podataka: 87, 85, 69, 51, 75, 12, 36, 95, 45, 18, 28, 19, 45, 68.

Rešenje: Kako je obim uzorka 14, posmatraju se oni intervali za koje 3 elelemata uzorka ima vrednost manju tj. veću od ostalih vrednosti obeležja.

Kada se obeležja sortiraju u rastući poredak dobija se:

12,18,19,28,36,45,45,51,68,69,75,85,87,95

Kada se odbiju poslednja tri i prva tri podatka, dobija se da je:

Odakle je kvartalna devijacija:

Dijagram pravougaonika (box-plot) dat je na sledećoj slici: