BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Logika i skupovi

Autor:

Naziv jedinice: Osnovne logičke operacije. Iskazne formule

Definisanje iskaza

Pod iskazom se podrazumeva neka rečenica koja može biti ili tačna ili netačna. Zato često kažemo da je iskaz proizvoljna rečenica koja ima jednu istinitosnu vrednost. Pokažimo to na jednom primeru:

Primer: 

1. „Beograd je glavni grad Srbije“
   Ova rečenica jeste iskaz jer je njena istinitosna vrednost – tačno.
2. „Koliko imaš godina?“
    Ova rečenica nije iskaz jer nema nikakvu istinitosnu vrednost – ne možemo reći da li je tačna ili netačna.
3. „4>678“
   Ova rečenica jeste iskaz čija je istinitosna vrednost – netačno.
4. „x³=1“
   Ova rečenica nije iskaz jer je njena istinitosna vrednost nekada tačna, a nekada nije. Ako je x=1 onda je tačna, ali ako stavimo x=5 onda je netačna.
                    

Nadalje ćemo razmatrati samo rečenice koje se odnose na neke matematičke pojmove. Za najprostije (elementarne) iskaze koristićemo skraćeni zapis i označavaćemo ih slovima p, q, r, t...
Istinitosna vrednost nekog iskaza p se označava sa τ(p) i čita se „tau od pe“.

τ(p)= T  ako je iskaz tačan

τ(p)= ⊥  ako je iskaz netačan

Konjukcija

U svakodnevnom govoru se često upotrebvljava veznik „i“ koji ima i logičko značenje: ako su p i q iskazi, onda je „p i q" takođe iskaz koji se označava sa p∧q.

Definicija 1: Konjukcija iskaza p i q je iskaz p∧q kojem odgovara istinitosna tablica: 

Karakteristično svojstvo konjukcije je da je iskaz p∧q tačan samo ako su oba iskaza p i q tačni.

Disjunkcija

Za iskaze p i q iskaz „p ili q“ je novi iskaz koga označavamo p∨q.

Definicija 2: Disjunkcija iskaza p i q je iskaz p∨q, kojem odgovara istinitosna tablica:

Kao što vidimo iz tablice, iskaz p∨q je netačan samo ako su oba iskaza p i q netačna. Postoji i ekskluzivna disjunkcija koja se čita „ili p ili q“. Razlika je u tome što iskaz „ili p ili q“ nije tačan ni u slučaju kada su oba iskaza tačna i  p i q tačni.

Implikacija 

Ako su p i q iskazi, onda je „p sledi q“ novi iskaz koji se označava sa p⇒q.

Definicija 3: Implikacija iskaza p i q je iskaz p⇒q, čije se istinitosne vrednosti zadaju
                   tablicom:

Tablicu je lakše pamtiti po svojstvu da je iskaz p⇒q netačan samo ako je iskaz p tačan, a iskaz q netačan. Napomenimo da se iskaz p⇒q još čita kao:

•   „p povlači q“
•  „ako p onda važi q“
•  „p implicira q“

•  „p je neophodan uslov za q“

   

Ekvivalencija

 Neka su p i q iskazi. Tada je „p ekvivalentno sa q“ novi iskaz koji se označava sa p⇔q.

Definicija 4: Ekvivalencija iskaza p i q je iskaz p⇔q čije se istinitosne vrednosti zadaju
                   tablicom:

 
Primećujemo da će ekvivalencija dva iskaza biti tačna ako oba iskaza imaju istu istinitosnu vrednost, tj. ako su oba tačna ili oba netačna.

Iskaz p⇔q možemo čitati i kao:

•  „p je potreban i dovoljan uslov za q“
•  „p ako i samo ako  q“

 Konjukcija, disjunkcija, implikacija i ekvivalencija su binarni logički operatori  jer se od dva iskaza pravi novi iskaz. Navešćemo i jedan unarni logički operator koji od jednog iskaza pravi drugi, a to je negacija.

Negacija

Definicija 5: Negacija iskaza p je iskaz ¬p , kojem odgovara tablica:

Iskaz ¬p se čita „ne pe“ i tačan je samo ako je p netačan.

Iskazne formule i prioriteti kod logičkih operacija

Sva iskazna slova i svi složeni iskazi nastali pomoću opisanih logičkih operacija nazivaju se iskazne formule.
Često se u zapisu iskaznih formula koriste zagrade kako bi formula bila nedvosmislena. Zagrade je moguće negde i izostaviti ako se prati prioritet računskih operacija (operacije su poređane od najvišeg ranga, ka nižem rangu):

• negacija
• konjukcija i disjunkcija (međusobno ravnopravne)
• implikacija i ekvivalencija (međusobno ekvivalentne)

Primer 1: Neka je dat niz simbola p∨q∧r . Ovo nije iskazna formula jer je dvosmislena.

Naime, ne znamo da li se tačno radi o (p∨q)∧r ili p∨(q∧r). Zato je u ovom primeru neophodno staviti zagrade.

Primer 2: Osloboditi se suvišnih zagrada u sledećoj formuli:

((p∨(¬q))∧r)⇔((r∧r)∨(¬p))

Rešenje:

Zbog prioriteta logičkih operacija prvo ćemo odrediti negacije, zatim konjukcije i disjunkcije, a potom ekvivalenciju:

(p∨¬q)∧r⇔(r∧r)∨¬p

Primer 3: Odrediti istinitosnu vrednost sledećih rečenica:

1. 3=8 ⇔ 2,1>1,8
2. 2+4=6 ∨ 25-13=11
3. ¬(2=3) ⇒ 2=1

Rešenje:

1. 3=8 ⇔ 2,1>1,8   prvi iskaz 3=8 je netačan, a drugi 2,1>1,8 tačan, pa je:
           ⊥   ⇔    T         na osnovu tablice za ekvivalenciju dobijamo:
                 ⊥             (netačno)
    
2. Sličnim rezonovanjem kao u primeru pod a) dobićemo:
    
      2+4=6 ∨ 25-13=11
       T       ∨         ⊥
                T (tačno)
    
3. ¬(2=3) ⇒ 2=1
   ¬   ⊥    ⇒  ⊥
    T     ⇒    ⊥
         ⊥                  (netačno)

Primer 4: Sastaviti tablicu istinitosti za sledeću formulu: (p⇒q)∧(q⇒p)
               
Rešenje:

Zadatu formulu možemo označiti slovom F. Pišemo:

                                F: (p⇒q)∧(q⇒p)

U postupku sastavljanja tablica, formulu čiju istinitost ispitujemo trebalo bi prvo raščlaniti na sve manje i prostije iskaze koji se u njoj javljaju. U našem primeru to će biti : p,q,p⇒q,q⇒p i na kraju cela formula F.
Pošto su p i q najjednostavniji iskazi (iskazna slova), prve dve kolone u tablici trebalo bi da budu sve moguće kombinacije njihovih istinitosnih vrednosti. Dakle, na početku tabela izgleda ovako:

Sada popunjavamo drugu, treću i četvrtu kolonu tako što određujemo istinitosne vrednosti složenijih iskaza na osnovu zadatih vrednosti za p i q.

Primer 5: Sastaviti tablicu istinitosti za sledeću formulu: p∨(¬q∧p)⇔q
 
Rešenje: