BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Racionalni algebarski izrazi

Autor:

Naziv jedinice: Neke važnije nejednakosti

Ponekad će se javiti potreba da izvedemo zaključak o tome kakvog je znaka određeni algebarski izraz. Ukoliko odaberemo pogodne transformacije, možemo za neke od njih utvrditi da za sve vrednosti promenljivih od kojih zavise uzimaju vrednosti određenog znaka.

Svojstvo realnih brojeva koje ćemo najčešće koristiti u dokazivanju narednih nejednakosti je da je kvadrat svakog realnog broja veći od nule ili jednak nuli, tj. važi:

x²≥0 za svako x∈R.

Kvadrat realnog broja je jednak nuli samo u slučaju da je i sam taj broj nula.

Primer 1: Dokazati da za svaki pozitivan broj x važi nejednakost:

.

Pođimo od poznate nejednakosti,

 (x-1)²≥0 .

Iskoristićemo formulu za kvadrat binoma,

  x²-2x+1≥0

  x²+1≥2x ,

a zatim nejednačinu podeliti sa x (što smemo jer je pretpostavka da je x pozitivno), pa je

što je trebalo dokazati.

Neka od svojstava relacija  ≤  i  ≥  , kao što su

  x≤y =>x+z≤y+z i

  x≤y,   z≥0  =>  xz≤yz,

mogu nam pomoći da dobijemo i neke nove nejednakosti.

Primer 2: Dokazati da za svaki realan broj a važi :

  a²+2a+3>0.

Uzimajući da je za svako realno a

 (a+1)²≥0,

biće

(a+1)²+2>0,

 a²+2a+1+2>0,

pa je na kraju i

 a²+2a+3>0.

Primer 3: Pokazati da je nejednakost tačna za sve realne brojeve a,b,c :

  a²+b²+c²≥ab+bc+ac.

Izvršićemo procenu sledećeg izraza

Odavde sledi da je a²+b²+c²≥ab+bc+ac za proizvoljne realne vrednosti a,b,c.

Primer 4: Dokazati nejednakost:

Krenimo od

pa, svođenjem na zajednički imenilac, imamo

Definicija 1: Pod pojmom aritmetička sredina dva nenegativna broja a i  b podrazumevamo njihov poluzbir, tj.   , dok geometrijsku sredinu tih brojeva definišemo kao koren njihovog proizvoda, odnosno, √ab .

Primer 5 (Teorema 1): Za proizvoljne nenegativne brojeve važi nejednakost

Pri tom, jednakost važi ako i samo ako je a=b.

Dokaz:

    (√a-√b)²≥0

    a-2√ab+b≥0

    a+b≥2√ab  /:2

      (a+b)/2≥ √ab .

Definicija 1: Harmonijska, odnosno kvadratna sredina pozitivnih brojeva x i y definišu se kao 

Za svaka dva pozitivna broja x i y njihova harmonijska sredina je manja ili jednaka od geometrijske, a kvadratna sredina veća ili jednaka od aritmetičke, što znači: