BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Uvod u geometriju

Autor:

Naziv jedinice: Međusobni položaj dve prave i dve ravni

Međusobni položaj dve prave

Definicija 1: Za dve prave kažemo da se seku ako imaju tačno jednu zajedničku tačku.

Teorema 1: Dve prave koje se seku određuju jednu ravan.

Dokaz: neka su date prave a i b koje se seku u tački M. Možemo odabrati tačku A∈a, takvu da je A≠M i tačku B∈b, takvu da je B≠M. Tada su tačke A,B,M nekolinearne (ne pripadaju istoj pravoj), a na osnovu aksiome pripadanja znamo da one određuju jednu ravan.

Primer 1: Dat je skup  P={A,B,C,a,b} gde su A,B,C različite tačke, a a,b različite prave. Koliko najviše ravni mogu odrediti elementi skupa P?  

Rešenje: ako pretpostavimo da su A,B,C nekolinearne tačke, onda, na osnovu aksiome pripadanja, određuju tačno jednu ravan. Iz teoreme 1. zaključujemo da ako se a,b seku, one određuju još jednu ravan. U lekciji 6.27. dokazali smo teoremu u kojoj se tvrdi da prava i tačka van nje određuju ravan, pa će prava a zajedno sa svakom pojedinačnom tačkom A,B,C da čini još po jednu, što je 3 nove ravni. Isto tako važi za b. Dakle, rešenje je 8 ravni.

Definicija 2: Za prave a i b kažemo da su paralelne ako je a=b ili ako obe pripadaju jednoj ravni i a∩b=∅.

Da su prave a i b paralelne označavamo sa  a || b.

Aksioma 1: (Aksioma paralelnosti) Za svaku pravu p i svaku tačku A postoji tačno jedna prava koja sadrži tačku A i paralelna je pravoj p.

Teorema 2:  Dve različite paralelne prave određuju jednu ravan.

Čitaocu se ostavlja da dokaže ovu teoremu.

Primer 2: Neka su m,n,p prave koje pripadaju ravni α. Ako su prave m  i n paralelne i ako p seče  , tada p seče i m. Dokazati.

                                                     
                                                         
Pretpostavićemo da su m  i n paralelne i da p seče n u tački P. Kako se prave m i p nalaze u istoj ravni, to znači da one mogu da budu ili paralelne ili da se seku. Aksioma paralelnosti eliminiše prvu opciju jer postoji tačno jedna prava koja sadrži P i paralelna je sa m, a to je n. Znači, seku se.

Teorema 3: Dve različite prave imaju najviše jednu zajedničku tačku.

Definicija 3: Ako ne postoji ravan kojoj pripadaju m  i n, tada kažemo da su prave m  i n mimoilazne.

Mimoilazne prave nemaju zajedničkih tačaka.

Međusobni položaj dve ravni

Definicija 4: Ako zajedničke tačke ravni α i β pripadaju tačno jednoj pravoj, tada kažemo da se ove ravni seku. Za ravni π i δ koje se ne seku kažemo da su paralelne i pišemo π || δ .

Odavde sledi da su dve ravni paralene i ako imaju zajedničku pravu i bar jednu tačku van te prave (pogledati dokaz teoreme 1. u lekciji 5.27.)

Ravni π i δ su paralelne ako i samo ako je π=δ ili π∩δ=∅.

Paralelne ravni na slici gore i ravni koje se seku na slici dole.