BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Linearne jednačine, nejednačine, sistemi, linearna funkcija

Autor:

Naziv jedinice: Linearne nejednačine

Slično kao i linearne jednačine, i linearne nejednačine rešavamo koristeći ekvivalentne transformacije. Kod nejednačina moramo voditi računa ako nejednačinu množimo (ili delimo) sa negativnim brojem, jer se tada menja znak.

Primer 1.     3x<21       dok je:   -3x<21   (delimo sa -3)
 
                                         

                    x<7                           x>-7

Osnovne linearne nejednačine su: 

1)   ax+b>0,                2)  ax+b≥0,
 
3)   ax+b<0 ,              4)   ax+b≤0,     gde su a i b dati realni brojevi.

Osnovno pravilo kod rešavanja nejednačina ax+b>0

 1) za a>0 rešenje je svaki realan broj x za koji je  
                  ;
 2) za a<0 rešenje je svaki realan broj x za koji je                    
                  ;
 3) za a=0 i b>0  rešenje je svaki broj x∈R;

 4) za a=0 i b≤0 nema rešenja.

Slično se razmatraju i jednačine oblika ax+b≥0, ax+b<0 i ax+b≤0.

Napomena: Kod ispisivanja rešenja nejednačina moramo voditi računa o zagradama, da li su male ( ) ili srednje [   ],

• kod +∞ i -∞ uvek idu male zagrade ( ),
• kod znakova < , > male zagrade i prazan kružić na brojevnoj pravoj,
• kod znakova ≤ i ≥ srednje zagrade i pun kružić, ( )- brojevi nisu u skupu,  [   ]-govore da su i ti brojevi u rešenju
   

Primer 2.   2(x-1)+6x<3(x+2)+7

                  2x-2+6x<3x+6+7

                  8x-2<3x+13
 
                  8x-3x<13+2

                  5x<15 / :5

                   x<3

                 Skup rešenja možemo zapisati {x∈R│x<3}, tj.  x∈(-∞,3)
               
              I na brojevnoj pravoj

Primer 3.    

                   3(3y+2)-2(5y-1)≥0

                    9y+6-10y+2≥0

                    -y+8≥0

                    -y≥-8 / ∙(-1)      množimo sa -1, znak se menja  

                     y≤8

                     y∈(-∞,8]     
                 

Primer 4.   2kx+1<x+4k²

                  2kx-x<4k²-1

                  x(2k-1)<(2k-1)(2k+1)

                Razmatramo slučajeve:
                 
                 I slučaj:
                  ako je      2k-1>0     
                                 2k>1     
                                     
                  Tada je    , onda su njena rešenja svi realni brojevi za koje je          
                  x<2k+1        

                 II slučaj:     ako je     2k-1<0      
                                                 2k<1     
                                                
    
                   Tada je                tj.  x>2k+1      

                  III sučaj:     ako je     2k-1=0
                                                  2k=1 
                                                               
                    Tada je      
                           x∙0<0 ,   a to nije tačno, pa za  nema rešenja.  

Za nejednačine važi:

A∙B>0           (A>0∧B>0)      ∨      (A<0  ∧ B<0)

A∙B<0           (A>0∧B<0)      ∨      (A<0  ∧ B>0)

Primer 5.  (x-3)(x-2)>0               
            
                 (x-3>0   ∧  x-2>0)                      ∨                (x-3<0  ∧    x-2<0)

                     x>3    ∧    x>2                                            x<3    ∧   x<2

 Drugo rešenje koje češće primenjujemo (tablično):

x∈(-∞,2)∪( 3,+∞)   

Primer 6.   
           
U ovom zadatku ćemo rešavati 2 nejednačine, a onda ćemo im spojiti rešenja.

         I)    

      x-2≠0              ,        3x-3=0  za  x=1

      x≠2

x∈(-∞,1)∪(2,+∞) 

II)       

x∈(-∞,2)∪(2 1/2,+∞)

      
       I      x∈(-∞,1)∪(2,+∞)
       II     x∈(-∞,2)∪(2 1/2,+∞)

           x∈(-∞,1)∪(2 1/2,+∞)