BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Linearne jednačine, nejednačine, sistemi, linearna funkcija

Autor:

Naziv jedinice: Linearne jednačine sa jednom nepoznatom

Linearnom jednačinom nazivamo svaku jednačinu sa nepoznatom x koja se  ekvivalentnim transformacijama svodi na jednačinu oblika a∙x=b, gde su a i b  realni brojevi. Rešenje ove jednačine je svaki realni broj x₀ za koji važi a∙x₀=b.

Ekvivalentne su one transformacije jednačina koje ne menjaju njen skup rešenja, npr. zamena izraza na jednoj strani jednačine izrazom koji je sa njim identičan, kao i množenje obe strane jednačine izrazom različitim od nule i slično.

Definicija 1: Jednačine A(x)=0 i B(x)=0 su ekvivalentne ako je svako rešenje prve jednačine ujedno i rešenje druge jednačine i obrnuto.

Primer 1.  Jednačine 4x-15=3x-9  i  7x+1=5x+13 su ekvivalentne.

Rešićemo obe jednačine i uporediti njihova rešenja:

4x-15=3x-9                         7x+1=5x+13
4x-3x=15-9                         7x-5x=13-1
       x=6                                  2x=12
                                                 x=6

Rešenje prve jednačine se poklapa sa rešenjem druge jednačine, prema tome jednačine su ekvivalentne.

Za svaku linearnu jednačinu važi:

 
Primer 2:

1)  a=2, b=12                                   2) a=b=0                                3)  a=0,b=9

jedinstveno rešenje                            neodređena                                 nemoguća
     2x=12                                           0∙x=0                                         0∙x=9                 

       x=6                                                x∈R                                           x∈∅

Primer 3.     Rešiti jednačinu   
                   
Rešenje: 

Prvo ćemo se osloboditi razlomaka. Odredićemo najmanji zajednički sadržalac za imenioce, a to su u ovom slučaju brojevi 2, 3 i 6, a zatim ćemo i levu i desnu stranu pomnožiti tim brojem. NZS za brojeve 2, 3 i 6 je 6, jer je to najmanji broj koji je deljiv tim brojevima.

2∙(3x-3)-3∙(7-3x)=6x+6+x-9  
                      
6x-6-21+9x=7x-3

15x-27=7x-3
  
15x-7x=27-3

8x=24

x=3
   
Primer 4. Dokazati da je jednačina  neodređena.

Rešenje:              

3∙3x+6x+5=5∙(1+3x)

9x+6x+5=5+15x

15x+5=5+15x

15x-15x=5-5

0∙x=0 

x∈R
                                  
Primer 5. Rešiti jednačinu 8(2x-3)-5=2x-2(27-3x)-7.

Rešenje:        

8(2x-3)-5=2x-2(27-3x)-7

16x-24-5=2x-54+6x-7
 
16x-29=8x-61
  
16x-8x=29-61

8x=-32

x=-4

Primer 6.    Rešiti jednačinu .  

Rešenje:         

               
24x+12-4(6-x)-6x+3(3+x)=72
              
24x+12-24+4x-6x+9+3x=72     

25x-3=72

25x=75

x=3