BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Geometrija

Autor:

Naziv jedinice: Linearna zavisnost vektora

Linearna zavisnost vektora

Definicija 1: Ako su k₁,k₂,k₃,…,k_n realni brojevi i  vektori različiti od nule, onda se zbir 

naziva linearna kombinacija vektora .

Definicija 2: Neka su dati vektori . Ako postoje brojevi k₁,k₂,k₃,…,k_n od kojih je bar jedan različit od nule, takvi da je 
                                                                     

onda se kaže da su takvi vektori linearno zavisni. Ako je poslednja jednakost ispunjena samo za k₁,k₂,k₃,…,k_n=0 , onda se kaže da su vektori   linearno nezavisni.

U prethodnoj lekciji definisan je pravac vektora. Reći ćemo da su dva vektora kolinearna ukoliko imaju isti pravac. Takođe, tri (ili više) vektora su komplanarna ako su paralelna jednoj ravni. Ponekad za njih kažemo da pripadaju toj ravni.

Kolinearnost i komplanarnost vektora u zadacima proveravamo upravo na osnovu linearne zavisnosti vektora, i to na sledeći način:

Tvrđenje 1: a) Dva nenula vektora  i  su kolinearna ako i samo ako su linearno zavisna.
                 b) Tri nenula vektora  ,  i  su komplanarna ako i samo ako su linearno zavisni.

Primer 1:  Ako su  i  linearno nezavisni vektori, ispitati da li su vektori  i  kolinearni vektori.

Rešenje:

Da bismo ispitali kolinearnost vektora prvo je potrebno napisati njihovu linearnu kombinaciju   i odrediti realne brojeve k₁ i k₂ tako da važi:

Pošto su vektori  i  linearno nezavisni, a poslednja jenačina je njihova linearna kombinacija, to znači da koeficijenti te kombinacije 3k₁-2k₂ i 5k₁+k₂ moraju biti nule. Dobijamo sistem jednačina:

3k₁-2k₂=0

5k₁+k₂=0    / ∙2
                            

3k₁-2k₂=0    

10k₁+2k₂=0
                           

13k₁=0     ⇒    k₁=0  a zamenom u jednu od jednačina dobijamo i k₂=0

Ovim smo dobili da su u linearnoj kombinaciji  koeficijenti nule, pa su vektori  i  linearno nezavisni i samim tim nisu kolinearni.

Važno je uočiti da ako su vektori  i  kolinearni (dakle imaju isti pravac), bilo koji od njih možemo napisati u funkciji od drugog

gde je k realan broj. Ako su istog usmerenja onda je k>0, a ako su različitog onda je k<0. Pokažimo kako koristimo ovaj zaključak na jednom primeru:

Primer 2: Ako su  i  linearno nezavisni vektori, odrediti koeficijent t takav da vektori  budu kolinearni.

Rešenje:

Pošto je potrebno da vektori budu kolinearni, možemo zapisati vektor  preko  vektora : 
  

 Kako su vektori  i  linearno nezavisni, važi:

-8-4k=0

 t+6k=0

 Iz prve jednačine sistema dobijamo 4k=-8,   k=-2  i zamenjujemo:

 t+6•(-2)=0        t-12=0         t=12

Primer 3:  Ako su vektori  ,  i  linearno nezavisni, da li su vektori  komplanarni?

Rešenje:

Odredimo realne brojeve k₁,k₂,k₃ takve da važi:

 Pošto su vektori ,  i  linearno nezavisni, sledi da je:

   2k₁-4k₃=0

 -3k₁+4k₂=0

 -2k₂+3k₃=0
                               

 2k₁-4k₃=0      ⇒    2k₁=4k₃       ⇒      k₁=2k₃

 Zamenićemo u drugu jednačinu i dobiti sistem od dve jednačine:

 -3•2k₃+4k₂=0
 
 -2k₂+3k₃=0
                           

4k₂-6k₃=0

-2k₂+3k₃=0    / •2

 4k₂-6k₃=0

-4k₂+6k₃=0            ova jednačina je ista kao i prva (samo je pomnožena sa -1) pa iz prve jednačine dobijamo:

4k₂=6k₃   ,   

Dakle, brojevi k₁=2k₃  ,   i k₃ ne moraju biti nule (ako zamenimo npr. k₃=2, dobijamo k₁=4 i k₂=3), pa su vektori  linearno zavisni i komplanarni.

Ovaj primer se jednostavnije rešava preko razlaganja vektora, pa će biti urađen i na drugi način.

Razlaganje vektora

Neka su dati nenula vektori . Ako vektor  možemo napisati u obliku

gde realni brojevi k₁ i k₂ nisu istovremeno nula, kazaćemo da smo vektor  razložili na vektore  i .

Primer 4: Razložiti vektor  na vektore  na vektore

Rešenje:

 2k₁+k₂=-10

 k₁-2k₂=5   /•(-2)
                        

 2k₁+k₂=-10

-2k₁+4k₂=-10
                       

 5k₂=-20      k₂=-4

 Zamenom u jednu od jednačina dobijamo 2k₁=-6 ,k₁=-3

Ako su neka tri vektora komplanarna, to znači da su linearno zavisni i da bilo koji od njih možemo zapisati preko druga dva, odnosno, možemo ga razložiti preko druga dva vektora.

Primer 5: Rešiti primer 3 preko razlaganja vektora.

Rešenje:

Ako treba dokazati da su vektori  komplanarni, dokazaćemo njihovu linearnu zavisnost tako što ćemo npr. vektor  razložiti na vektore  i .

Odakle dobijamo da je: 2k₁=-4    -2k₂=3     -3k₁+4k₂=0   (izjednačili smo brojeve uz vektore )