BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Linearne jednačine, nejednačine, sistemi, linearna funkcija

Autor:

Naziv jedinice: Linearna funkcija i njen grafik

Uzmimo skupove A i B. Preslikavanje f gde svakom elementu x∈A odgovara tačno jedan element y∈B nazivamo funkcijom.
I pišemo:

f:A→B      ili      y=f(x)

Najpoznatiji oblik linearne jednačine je eksplicitni oblik: y=k∙x+n
 

• Oblast definisanosti (domen) funkcije

Domen realne funkcije y=f(x) je skup realnih vrednosti nezavisne promenljive x za koju je vrednost funkcije realna.

Npr.   Za funkciju y=2∙x-5

                  Domf=(-∞,+∞)      ili           Df:x∈(-∞,+∞)

• Koeficijent pravca prave

k-je koeficijent pravca, odnosno k=tgα,
a α je ugao koji prava gradi sa pozitivnim delom O_x ose,
n je odsečak na O_y osi, za n=0 prava prolazi kroz koordinantni početak

 za k>0  prava gradi sa pozitivnim delom O_x ose oštar ugao i tada je funkcija rastuća;
 za k<0  prava gradi sa pozitivnim delom O_x ose tup ugao i tada je funkcija opadajuća;
 za k=0  prava je paralelna sa O_x osom;

• Nula funkcije

Nula funkcije je mesto gde grafik  seče O_x  osu, a dobija se kada stavimo da je y=0 i izračunamo x.  

• Znak funkcije 

Funkcija je pozitivna za y>0 tj. kx+n>0 i grafik funkcije je iznad O_x ose;

Funkcija je negativna za y<0 tj. kx+n<0 i grafik funkcije je ispod O_x ose;

Mogući slučajevi:

1. Ako je k≠0, jednačina f(x)=0 ima jedinstveno rešenje .
To znači da funkcija f ima nulu , a prava y=kx+n seče osu O_x.

2. Ako je k=0 i n≠0, jednačina kx+n=0 nema rešenja, odgovarajuća prava je paralelna  osi O_x i sa njom se ne poklapa.

3. Ako je k=n=0, prava y=kx+n=0 se poklapa sa osom O_x, svaka tačka x∈R je nula funkcije f, tj. jednačina ima beskonačno mnogo rešenja.

Ako se u zadatku kaže da grafik prolazi kroz neku tačku (x₀,y₀), onda koordinate te tačke smemo da zamenimo umesto x i y u datoj jednačini y=kx+n. Tj. y₀=kx₀+n

Dva grafika   y=k₁ x+n₁ i y=k₂ x+n2 

                  su paralelna ako je k₁=k₂
  
                  su normalna ako je k₁∙k₂=-1

Primer 1. Odrediti vrednost a za koju funkcija   , ima nulu za x=-3.

   Rešenje:    y=0,  x=-3

                 Zamenimo date vrednosti u jednačinu  , biće

                      prebacimo nepoznate na levu stranu

                podelimo sve sa 6

Primer 2.  U funkciji y=(m-2)x-4m+15 odrediti parametar m∈R, tako da tačka A(2,3) pripada grafiku funkcije.

Rešenje: Kako tačka A(2,3) pripada grafiku,možemo zameniti koordinate tačke umesto x i y u datoj jednačini y=(m-2)x-4m+15
      
            
            3=(m-2)∙2-4m+15       

             3=2m-4-4m+15

               3=-2m+11         prebacimo nepoznate na jednu, a poznate na drugu stranu

               2m=11-3

               2m=8   /:2          podelimo sa 2

                m=4
 

Primer 3.  Data je funkcija y=(3m-1)x+m-3, naći parametar m tako da grafik funkcije  sa  osom O_x gradi

1. tup ugao
2. oštar ugao
3. nula ugao

Rešenje: 

a)   Da bi funkcija gradila tup ugao sa osom O_x mora biti k<0
                     U našem slučaju je k=3m-1, biće

                      3m-1<0
                      3m<1

b) k>0 3m-1>0        

     3m>1  

   m>1/3

c)  k=0                3m-1=0

 3m=1

m= 1/3

Primer 4.  Nacrtati grafik funkcije   y=|x|-3

Rešenje:   Prvo definišimo apsolutnu vrednost

Dakle, mi ćemo imati dve funkcije i crtamo dva grafika

Primer 5.      y=|x+1|+|1-x|

Rešenje:      prvo definišemo apsolutne vrednosti

Primer 6.   y=|(3-|x-2|)|

Rešenje:    Prvo razmatramo |x-2|

Imamo dva slučaja: