BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Geometrija

Autor:

Naziv jedinice: Krug

O krugu, kružnici i osnovnim pojmovima vezanim za krug naučili smo u osnovnoj školi.
Ovde ćemo posvetiti pažnju međusobnim odnosima kruga, uglova i pravih i naučiti o osobinama tangentnog i tetivnog četvorougla.

Centralni i periferijski ugao kruga

Centralni ugao kruga je ugao kome je teme centar kruga, a kraci poluprečnici kruga.

Svakom centralnom uglu odgovara tetiva kruga i kružni luk.

Periferijski ugao kruga je ugao kome je teme tačka sa kružnice, a kraci tetive kruga.

AB – tetiva kruga
  - kružni luk
α – centralni ugao nad tetivom AB
β – periferijski ugao nad tetivom AB

Za centralni i periferijski ugao kruga nad istim kružnim lukom važi:

Tvrđenje 1: Centralni ugao kruga je dva puta veći od periferijskog ugla nad istim kružnim lukom, tj. α=2β.

Da bismo dokazali ovo tvrđenje nacrtaćemo prečnik kruga CD.

Trougao AOC je jednakokraki jer su AO i CO poluprečnici kruga, pa je ∠ACO=∠CAO. ∠AOD je spoljašnji ugao tog trougla, pa je jednak zbiru dva nesusedna unutrašnja ugla, tj.
∠AOD=2∠ACO.
Analogno, ∠BOD je spoljašnji ugao jednakokrakog trougla BCO, pa je ∠BOD=2∠BCO.

α=∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2(∠ACO+∠BCO)=2∠ACB=2β

Primer 1: Izračunati nepoznati ugao x sa slike ako je ∠OAB=50°.

Rešenje:

Trougao ABC je jednakokraki, jer su AO i BO poluprečnici, pa je ∠OBA=∠OAB=50ᵒ. Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je 180°, pa je centralni ugao nad tetivom AB α=180ᵒ-2∙50ᵒ=80ᵒ.
Traženi ugao x je periferijski ugao nad istom tetivom, pa je jednak polovini odgovarajućeg centralnog ugla α, tj. x=40°.

Primer 2: Dve tačke sa kružnice A i B dele kružnicu na dva kružna luka u razmeri 4:5. Koliki centralni uglovi odgovaraju tim lukovima?

Rešenje:

Ako su dužine lukova u razmeri 4:5, onda su i odgovarajući centralni uglovi α i β u istoj razmeri tj. α:β=4:5, pa je α=4k,β=5k.
Kako je α+β=360°, važi 9k=360°, k=40°, pa je α=160°, β=200°.

Važna su i sledeća tvrđenja:

Tvrđenje 2: Periferijski ugao nad prečnikom je prav.

Odgovarajući centralni ugao je opružen, tj. ima 180°.

Tvrđenje 3: Svi periferijski uglovi nad istim kružnim lukom su međusobno jednaki.

        
β₁=β₂=β₃ , svi periferijski uglovi su nad istom tetivom AB, pa su svi jednaki polovini odgovarajućeg centralnog ugla.

Teoreme o tangentnim dužima i tangentnom uglu

Teorema 1: Tangentne duži iz iste tačke na kružnicu su jednake.

Neka su MA i MB dve tangentne duži iz tačke M na kružnicu kao na slici:

Trouglovi AOM i BOM su podudarni na osnovu stava SSU jer je: AO=BO=r OM=OM (zajednička stranica)∠OAM=∠OBM=90° (jer je ugao između poluprečnika i tangente u krajnjoj tački tog poluprečnika 90°)

Dobijamo: MA=MB.

Primer 3: Dokazati da je zbir kateta pravouglog trougla jednak zbiru prečnika opisanog i upisanog kruga.

Rešenje:

Centar opisane kružnice pravouglog trougla je središte hipotenuze O, pa je dužina hipotenuze c=2R, gde je R poluprečnik opisane kružnice.

Neka je r poluprečnik upisanog kruga.

AE=AF=b-r jer su to tangentne duži iz tačke A na upisanu kružincu.
BE=BD=a-r jer su to tangentne duži iz tačke B na upisanu kružnicu.
c=AE+BE=b-r+a-r=a+b-2r
Dobijamo: a+b-2r=2R, pa je a+b=2r+2R što je trebalo dokazati.

Teorema 2: Ugao između tetive i tangente koja dodiruje kružnicu u jednoj krajnjoj tački te tetive jednak je periferijskom uglu nad tom tetivom.

Neka je tetiva AC prečnik kruga normalan na tangentu t kao na sledećoj slici:

Važi: ∠CBA=90° kao periferijski ugao nad prečnikom AC, pa su uglovi ∠(AB,t) i ∠ACB jednaki kao uglovi sa normalnim kracima. Svi drugi periferijski uglovi nad tetivom AB su jednaki ∠ACB, pa su samim tim jednaki i uglu između tetive AB i tangente t.

Tangentni i tetivni četvorougao

Tangentni četvorougao je četvorougao u koji može da se upiše kružnica. 
                                           

Stranice tog četvorougla su tangente kruga.

Za svaki tangentni četvorougao ABCD važi: AB+CD=BC+AD, tj. zbir dve naspramne stranice jednak je zbiru druge dve naspramne stranice.

Neka su M, N, P i Q dodirne tačke stranica AB, BC, CD i DA i upisanog kruga tim redom.

Važi: AM=AQ jer su to tangentne duži iz tačke A na kružnicu. Slično: BM=BN, CN=CP i DP=DQ.

AB+CD=AM+BM+DP+CP=AQ+BN+DQ+CN=BC+AD

Tetivni četvorougao je četvorougao oko koga može da se opiše kružnica. 
   

Stranice tog četvorougla su tetive kruga.

Za svaki tetivni četvorougao ABCD važi: α+γ=β+δ=180°, tj. zbir dva naspramna ugla jednak je zbiru druga dva naspramna ugla jednak je opruženom uglu jer je zbir unutrašnjih uglova četvorougla jednak 360°.

Posmatraćemo sledeću sliku:

Ugao γ je periferijski ugao nad lukom , pa je jednak polovini odgovarajućeg centralnog ugla ∠DOB. Ugao α je periferijski ugao nad lukom , pa je jednak polovini odgovarajućeg centralnog ugla ∠BOD. Kako je ∠DOB+∠BOD=360ᵒ, važi: α+γ=180°.

Primer 4: Ako u jednakokraki trapez može da se upiše kružnica, onda je krak tog trapeza jednak srednjoj liniji.

Dokazati.

Rešenje:

Ako u jednakokraki trapez može da se upiše kružnica, onda je taj trapez tangentni i za njega važi a+b=2c, pa je

Primer 5: Kroz krajnje tačke prečnika AB konstruisane su paralelne tetive AC i BD. Dokazati da su one jednake.

Rešenje:

 
Da bismo dokazali da su tetive AC i BD jednake, dokazaćemo da su trouglovi ACO i BDO podudarni.