BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Geometrija

Autor:

Naziv jedinice: Konstrukcije trougla

Osnovne konstrukcije

Konstrukcija nekog trougla sastoji se iz konačno mnogo koraka. Svaki od tih koraka predstavlja tzv. osnovnu konstrukciju. Pod osnovnim konstrukcijama smatramo konstrukciju:

• prave kroz dve date tačke
• poluprave kojoj je data početna tačka i još jedna tačka
• duži kojoj su date krajnje tačke
• kruga kojem je dat centar i tačka na krugu
• kruga kojem je dat centar i poluprečnik
• kružnog luka kojem je dat centar odgovarajućeg luka i krajnje tačke luka

Prema tome, osnovne konstrukcije su konstrukcije prave (koristimo lenjir) i kruga (koristimo šestar). Zato se često kaže da se konstruktivni zadaci rešavaju lenjirom i šestarom.

Elementarne konstrukcije

Nekoliko osnovnih konstrukcija čini elementarnu konstrukciju, čija bi izvođenja trebalo dobro uvežbati jer se često koriste u zadacima. Pod elementarnim konstrukcijama podrazumevamo konstrukcije:

• paralelnih pravih
• normalnih pravih
• simetrala duži
• simetrala uglova
• duži jednake datoj duži
• ugla jednakog datom uglu
• ugla komplementnog datom uglu
• ugla suplementnog datom uglu

Smatraćemo da su ove konstrukcije poznate iz osnovne škole.

Faze rešavanja konstruktivnog zadatka

Svaki konstruktivni zadatak ima četiri osnovne faze u rešavanju:

• Analiza je traženje načina da se dođe do rešenja. Najćešće se skicira crtež koji predstavlja krajnje rešenje. Na osnovu njega se uočava kako zavise elementi koji su dati od elemenata koje treba konstruisati.
• Konstrukcija se sastoji u tome da se na osnovu zaključaka donetih u analizi konačnim brojem elementarnih konstrukcija odredi traženi trougao.
• Dokaz ima za cilj da utvrdi da li dobijeno rešenje ispunjava uslove zadatka.
• Diskusija – utvrđujemo da li je dobijeno rešenje jedinstveno, da li postoji više rešenja i kada rešenje ne postoji.

Često ćemo u rešavanju zadataka koristiti samo analizu i konstrukciju.

Primer 1: Konstruisati pravougli trougao ako mu je dat ugao α i hipotenuza c .

Hipotenuza AB pravouglog trougla je prečnik opisane kružnice. Teme C pravog ugla nalazi se na kružnici. Takođe, teme C je i presek poluprave AC koja predstavlja krak ugla α . Prema tome, teme C je u preseku kružnice i ove poluprave.

Konstrukcija:

1. Konstruišemo duž AB čija je dužina ista sa dužinom c.
2. Odredimo središte duži AB i obeležimo ga sa O.
3. Opišemo kružnicu čiji je centar tačka O i poluprečnik duž OA.
4. Konstruišemo polupravu Ap tako da zaklapa ugao α sa duži AB.
5. Presek poluprave Ap i kružnice obeležimo sa C.

Dokaz:

Trougao ABC je pravougli sa pravim uglom kod temena C jer je ugao nad prečnikom kružnice prav. Dužina hipotenize je c i ugao kod temena A je α (po konstrukciji). Dobijeni trougao ispunjava sve uslove zadatka.

Diskusija:

Zadatak ima jedno rešenje ako je ugao α oštar ugao.
Napomena: polupravu p smo prilikom konstrukcije mogli nacrtati i sa „donje“ strane duži AB, ali je takav trougao podudaran trouglu koji se dobija opisanom konstrukcijom i to nećemo smatrati drugim rešenjem.

Primer 2: Konstruisati trougao ABC ako su mu poznati sledeći elementi: a,t_b,γ .

Rešenje:

Dati podaci su dovoljni za konstrukciju trougla BCD (poznate su dve stranice i ugao). Duž AD ima istu dužinu kao i duž CD. Određena su sva tri temena trougla.

Konstrukcija: 

1. Konstruišemo duž BC čija je dužina a.
2. Odredimo polupravu Cp takvu da zaklapa ugao γ sa duži BC.
3. Opišemu kružnicu (dovoljan je samo luk) sa centrom u tački B i poluprečnikom dužine t_b.
4. Presek kružnice (luka) i poluprave obeležimo sa D.
5. Spojimo temena trougla BCD.
6. Produžimo stranicu CD preko temena D i na tom produžetku označimo tačku A takvu da je CD=AD.
7. Spojimo temena trougla ABC.