BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvu godinu visokog obrazovanja

Modul: Izvodi i diferencijali

Autor:

Naziv jedinice: Izvodi osnovnih funkcija i izvodi složenih funkcija. Tablica izvoda

• Izvod složene funkcije

Neka je funkcija y=ƒ(x) diferencijabilna u tački x, a funkcija z=g(y) diferencijabilna u tački y=ƒ(x). Tada je složena funkcija z=g(ƒ(x))=(g°ƒ)(x) diferencijabilna u tački x i važi:

(g°f)'(x)=g'(y)·ƒ'(x)=g'(ƒ(x))*ƒ'(x).

Da bi bilo lakše prepoznati po kojoj promenljivoj se vrši diferenciranje složene funkcije, može se koristiti skraćena oznaka:

z_x'=z_y'*y_x'.

Primer 1. Naći izvodne funkcije sledećih složenih funkcija:

Rešenje:

1. Uvodi se pomoćna promenljiva:
2. u=cosx,
    
   a dalje se posmatra izvod složene funkcije:
   
    
3. Uvodi se pomoćna promenljiva:
    
    u=x²

a dalje se posmatra izvod složene funkcije:

Primer 2. Naći izvod funkcije .

Rešenje: koristi se drugi zapis funkcije: y=x^α=e^αlnx. Uvodi se pomoćna promenljiva:

u=αlnx,

a dalje se posmatra izvod složene funkcije:

• Izvod inverzne funkcije

Neka je data funkcija ƒ:A→B neprekidna u tački x₀∈A i njoj inverzna funkcija ƒ^-1:B→A neprekidna u tački y₀=ƒ(x₀)∈B. Ako je funkcija ƒ diferencijabilna u tački x₀ i važi ƒ'(x₀)≠0, tada je funkcija ƒ^-1 diferencijabilna u tački y₀ i važi:

Primer 3. Naći izvod funkcija:

1. y=arcsinx,-1<x<1,
2. y=arccosx, -1<x<1. 

Rešenje:

1. Kako je ovo inverzna funkcija funkcije , dobija se:
   
   
   tj. važi
   
2. Analogno, kako je ovo inverzna funkcija funkcije y=cosx, 0<x<π, dobija se:

 tj. važi

Primer 4. Naći izvod funkcija:

1. y=arctgx,
2. y=arcctgx.

Rešenje:

1. kako je ovo inverzna funkcija funkcije y=tgx, dobija se:
    
   
    
   tj. važi
    
   
    
2. Analogno, kako je ovo inverzna funkcija funkcije y=ctgx, dobija se:
    
   
    
   tj. važi
    
   

• Izvodi elementarnih funkcija (tablica izvoda)

Korišćenjem pravila diferenciranja, svi rešeni primeri mogu se napisati u vidu tablice izvoda osnovnih elementarnih funkcija, iz kojih se dalje lako dobijaju izvodi bilo koje elementarne funkcije.

	Funkcija ƒ(x)	Izvod ƒ'(x)	Uslovi
1	y=c	(c)'=0	x∈R, c∈R
2	y=xα	(xα)'=αxα-1	x>0, α∈R
3	y=ax	(ax)'=axlna	α>0, α≠1, x∈R
4	y=logαx		α>0, α≠1, x∈R
5	y=sinx	(sinx)'=cosx	x∈R
6	y=cosx	(cosx)'=-sinx	x∈R
7	y=tgx
8	y=ctgx		x∈R\{kπ|k∈Z}
9	y=arcsinx		|x|=<1
10	y=arccosx		|x|=<1
11	y=arctgx		x∈R
12	y=arcctgx		x∈R

Primer 5. Naći izvod funkcije y=x^x.

Rešenje: koristi se drugi zapis funkcije: y=x^x=e^xlnx. Uvodi se pomoćna promenljiva:

u=xlnx,

a dalje se posmatra izvod složene funkcije: