BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Geometrija

Autor:

Naziv jedinice: Izometrijske transformacije – osna simetrija

Na početku ovog poglavlja uveli smo pojam izometrije. Sada ćemo ga se podsetiti i navesti jos jednom najznačajnije osobine tog preslikavanja.

Definicija 1: Izometrijsko preslikavanje (izometrija) je svako obostrano jednoznačno preslikavanje figure F na figuru F₁ koje duži preslikava na podudarne duži. Izometrije označavamo sa I.

Izometrije čuvaju kolinearnost i raspored tačaka, što znači da ako važi raspored A-B-C i ako je I izometrija takva da I(A)=A₁,I(B)=B₁,I(C)=C₁  , tada je A₁-B₁-C₁. Tačke koje se izometrijom slikaju u same sebe nazivamo invarijantnim, odnosno nepokretnim tačkama. Identično preslikavanje (koincidencija) je izometrija. 

Teorema 1: Inverzno preslikavanje izometrije je izometrija. Proizvod (kompozicija) dve izometrije je izometrija.

Definicija 2: Ako postoji izometrija I koja figuru F preslikava na figuru F₁, tada kažemo da je figura  F₁ podudarna figuri F.

Razlikovaćemo dve vrste izometrija u odnosu na promenu orijentacije orijentisane površi:

1. direktne izometrije,
2. indirektne izometrije.

Posmatrajmo duž AB i njenu simetralu s. Za tačku B kažemo da je simetrična tački A u odnosu na pravu s. Analogno, tačka A je simetrična tački B u odnosu na pravu s. Središte S date duži pripada pravoj s i znamo da je AS=BS. Ako je N proizvoljna tačka ravni određene pravama AB i s, takva da N∉s, onda se na normali n prave s, N∈n, može odrediti tačno jedna tačka N' tako da je s simetrala duži NN'.

Definicija 3: Preslikavanje ravni, pri kojem se svaka tačka A te ravni preslikava u tačku A', simetričnu sa A u odnosu na pravu s te ravni, nazivamo osnom simetrijom u odnosu na pravu (osu) s. Oznaka za takvu osnu simetriju je I_s.

Ako je I_s (F)=F, tada je figura F osnosimetrična u odnosu na pravu s. Prava s se zove osa simetrije ili simetrala figure F.

Evo nekih primera osnosimetričnih figura.

Primetimo da prva figura, krug, osim nacrtane, ima još beskonačno mnogo osa simetrije, tj. svaki prečnik mu je osa simetrije. Kod jednakokrakog trougla, kao i kod jednakokrakog trapeza, postoji tačno jedna, dok kod pravougaonika imamo dve ose simetrije.

Čitaocu se ostavlja da odredi drugu osu simetrije kod pravougaonika. Zašto prava na kojoj leži dijagonala nije osa? Koliko osa simetrije imaju kvadrat, romb, jednakostranični trougao?

Teorema 2: Osna simetrija (refleksija) je izometrija ravni.

Teorema 3: Refleksija je indirektna izometrija.

Teorema 4: Svaka indirektna izometrija ravni, koja ima bar jednu invarijantnu tačku, jeste refleksija.

Napomena: Postoje indirektne izometrije ravni koje nemaju invarijantnih tačaka. To nisu refleksije, već ih nazivamo klizajuće simetrije.

Teorema 5: Osnosimetrične prave su paralelne među sobom i paralelne osi ili se seku na osi.

Naredne slike ilustruju obe varijante osnosimetričnih pravih iz prethodne teoreme.

Primer:  Konstruisati trougao A' B' C' simetričan datom trouglu ABC u odnosu na pravu s.

Nepokretne tačke su sve tačke ose simetrije.