BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Geometrija

Autor:

Naziv jedinice: Izometrijske transformacije – rotacija

Upoznajmo se sa još jednom direktnom izometrijom ravni. 

Posmatrajmo prave a i b ravni α koje se seku u tački O i određuju orijentisani ugao . Neka je A∈α različita od tačke O. Osnom refleksijom tačku A možemo preslikati u odnosu na pravu a i tako dobijamo A₁, tj. I_a (A)=A₁, a zatim i A₁ u odnosu na pravu b , pa je I_b (A₁ )=A'. Dakle, biće I_b°I_a (A)=A'.
 

Iz osobina osne refleksije sledi da je OA=OA' i . Ovako uvedeno preslikavanje ravni na samu sebe zovemo centralna rotacija oko tačke O za orijentisani ugao  i označavamo sa .  Postoji tačno jedna nepokretna tačka ovog preslikavanja, a to je O.

Definicija 1: Ako je data ravna figura F, tačka O i orijentisani ugao   i ako je figura F'  skup svih tačaka u koje se rotacijom   preslikavaju tačke figure F, tada kažemo da se figura F rotacijom    preslikava na figuru F'.

Na osnovu prethodnog razmatranja vidimo da je rotacija, u stvari, kompozicija dve izometrije, pa kao takva i sama predstavlja izometriju.

Postoji mogućnost da se vrši rotacija i u negativnom smeru. Rotacija oko tačke O za ugao φ u negativnom smeru označava se sa  i isto je što i rotacija u pozitivnom smeru za ugao 360°-φ.  Na primer, ako posmatramo pozitivno orijentisani jednakostranični trougao ABC (raspored temena A,B,C prati kretanje u smeru suprotnom od kretanja kazaljki), tada se teme C može dobiti rotacijom tačke B oko tačke A za ugao od 60⁰, što zapisujemo C=R_A,60° (B), a ako je ABC negativno orijentisan, teme C dobijamo rotacijom tačke B oko tačke A za ugao od -60⁰, što zapisujemo C=R_A,-60° (B).
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       

Rotacija za ugao od 180⁰ je centralna simetrija. To znači da ako bismo tačku A rotirali oko centra O za opružen ugao, tačka A' će biti simetrična sa A u odnosu na O jer je O središte duži AA'.

Važne osobine rotacije

• Rotacija je direktna izometrija ravni na samu sebe;
•  Centar rotacije je jedina nepokretna tačka;
• Rotacija nema nepokretnih pravih sem u slučaju da je ugao rotacije
• φ=0⁰ ili φ=360⁰ (koincidencija),
• φ=180⁰  (centralna simetrija);
•  Prava sa svojim rotiranim likom određuje ugao jednak uglu rotacije.

Primer: Date su tačke A i B i ugao α. Dokazati da postoji samo jedna tačka O tako da važi R_O,α(A)=B. 

Rešenje:

Pretpostavićemo prvo da je 0⁰<α<180⁰. Tada je trougao OAB jednakokraki, njegova osnovica je stranica AB, a ugao α kod temena O pozitivno orijentisan. Zato je tačka O jedinstveno određena.

Ako je sada  -180⁰<α<0⁰, trougao OAB jednakokraki sa osnovicom AB, uglom |α| kod temena O koji je negativno orijentisan, pa je jedinstveno određena tačka. 

 
I poslednji slučaj, kada je ugao α=180⁰,  O će biti središte duži AB.