BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Logika i skupovi

Autor:

Naziv jedinice: Inverzna funkcija

Ponavljanje: bijektivno preslikavanje

U prethodnoj lekciji bilo je reči o tome koja preslikavanja su „1-1“, a za koje preslikavanje kažemo da je „na“ preslikavanje.

Preslikavanje f:A→B je „1-1“ preslikavanje ako:

(∀ x₁,x₂∈A)( f(x₁ )=f(x₂ )  ⇒ x₁=x₂)

Preslikavanje f:A→B je „na“ preslikavanje ako:

(∀ y∈B)(∃x∈A)(f(x)=y)

Preslikavanje f:A→B je bijekcija ako je i „1-1“ i „na“.

Pojam bijekcije je ključni pojam za definisanje inverznog preslikavanja koje ćemo označiti sa f^-1.

Pojam inverznog preslikavanja

Ako je dato preslikavanje koje slika elemente skupa A u skup B, onda inverzna funkcija treba da slika skup B u skup A. Uprošćeno, svi elementi iz skupa B koji su bili nečija slika postaju „originali“, a svi „originali iz skupa A su sada njihove slike. Pokažimo to grafički:

Da bi preslikavanje f:A→B imalo svoje inverzno preslikavanje f^-1:B→A, potrebno je da f bude bijekcija.
Prvo, ako nije „1-1“ to znači da će se neka dva elementa iz A slikati u isti element u B. Ako posmatramo inverzno preslikavanje, u tom slučaju će se baš taj element iz B slikati u dva različita elementa u A, a to nije moguće jer tada to i nije funkcija.

Drugo, ako nije „na“ preslikavanje, to znači da je neki element iz skupa B „ostao sam“ i prilikom inverznog preslikavanja on se neće slikati ni u jedan element, pa samim tim nemamo funkciju.

 
Definicija: Ako je f:A→B bijektivno preslikavanje, onda se sa f^-1:B→A obeležava preslikavanje koje ima osobinu

(∀x)  (f^-1(f(x))=x)

U tom slučaju se f^-1 naziva inverznim preslikavanjem (inverznom funkcijom) funkcije f.

Primer 1: Dato je preslikavanje: . Odrediti inverzno preslikavanje.
Rešenje:

Preslikavanje je očigledno bijekcija i dobijamo:

Primer 2: U prethodnoj lekciji bilo je dokazano da je preslikavanje f:R→R,  f(x)=2x-1 bijekcija. Odrediti inverznu funkciju.

Rešenje:
         
f^-1(f(x))=f^-1(2x-1)=x

Dobili smo funkcionalnu jednačinu i uvodimo smenu:

, pa dobijamo:

Primer 3: Odrediti inverznu funkciju (ako postoji) funkcije .
Rešenje:

Ispitajmo da li važi „1-1“, odnosno da li je tačno

Preslikavanje je i „na“ preslikavanje:

Dokazali smo da je preslikavanje bijekcija, pa možemo odrediti inverznu funkciju:

Primer 4: Odrediti inverznu funkciju preslikavanja f(x)=x^2+1.

Rešenje:

Ova funkcija nema inverznu funkciju jer nije „1-1“ preslikavanje:

f(x₁ )=f(x₂)           

x₁²+1=x₂²+1

x₁²=x₂², ali odavde ne možemo zaključiti da važi x₁=x₂

(Npr. (-3)²=3² ali je -3≠3 )

Primer 5: Ako su data preslikavanja f(x)= (x-2)/7 i g(x)=(x+12)/14 odrediti kompoziciju preslikavanja   f ºg^-1.

Rešenje:

Odredimo prvo preslikavanje g^-1: