BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvu godinu visokog obrazovanja

Modul: Realne funkcije jedne realne promenljive

Autor:

Naziv jedinice: Grafik funkcije

• Grafik funkcije

Grafički način zadavanja funkcije nije precizan način, ali je skiciranje grafika važan pomoćni instrument za vizuelno predstavljanje raznih osobina realnih funkcija realne promenljive.

Grafik funkcije predstavlja skup tačaka (uređenih parova (x,y)) ravni za koje je x iz domena Dƒ funkcije ƒ i y=ƒ(x):

Grafik funkcije ima osobinu da svaka prava linija paralelna sa y-osom seče taj grafik najviše u jednoj tački.

Primer 1. Odrediti koji od datih grafika predstavlja grafik funkcije, a koji ne.

Rešenje: funkcije su pod c) (kvadratna funkcija) i d) (linearna funkcija), dok pod a) grafik jednačina kružne linije i b) grafik jednačine parabole nisu funkcije jer ne zadovoljavaju uslov funkcije da svaki original ima samo jednu sliku.

Da bi se što preciznije skicirao grafik funkcije, ispituju se redom sve njene osobine, a zatim se prelazi na skiciranje grafika. Redosled ispitivanja nije striktno određen, na primer:

1. domen funkcije
2. parnost funkcije
3. ograničenost funkcije
4. periodičnost funkcije
5. nule i znak funkcije
6. intervali monotonosti i lokalni ekstremi
7. intervali konveksnosti i konkavnosti
8. grafik funkcije

Primer 2. Ispitati funkciju ƒ(x)=x⁴-4x²+3 i skicirati njen grafik:

Rešenje:

1. Domen – funkcija je definisana za svaki realan broj.
2. Parnost – funkcija je parna jer je ƒ(-x)=(-x)⁴-4(-x)²+3=x⁴-4x²+3=ƒ(x). Njen grafik je simetričan  u odnosu na y-osu
3. Ograničenost – funkcija je ograničena sa donje strane brojem -1 jer važi: y=x⁴-4x²+3=(x²-2)²-1≥-1. To znači da nema delova grafika ispod prave
   y = -1. 
4. Periodičnost funkcije – funkcija nije periodična jer važi: 
5. Nule: i znak funkcije
   
6. Funkcija ima tri lokalna ekstremuma (proces nalaženja ekstremuma se pojednostavljuje primenom izvoda – ovde se za sada daje samo rešenje) .
7. Funkcija je konveksna za , a konkavna za  (proces ispitivanja konveksnosti funkcije se pojednostavljuje primenom izvoda – ovde se za sada daje samo rešenje).
8. Njen grafik izgleda ovako:

Primer 3. Neka je data funkcija tražnje x=400-p i funkcija prosečnih troškova 
Odrediti:

1. optimalan obim prodaje za maksimalnu dobit;
2. maksimalan ukupni prihod;
3. interval rentabiliteta;
4. grafike funkcija ukupnih prihoda, ukupnih troškova i dobiti.

Rešenje:

funkcija ukupnih prihoda  P(x) se dobija množenjem cenе p i tražnje x:

P(x)=p*x=(400*x)*x=400x-x².

Funkcija ukupnih troškova se dobija množenjem prosečnih troškova i tražnje:

Odatle je funkcija dobiti:

D(x)=P(x)-C(x)=-4x²+400x-1900.

Sve funkcije su kvadratne, njihovi grafici su parabole, a sa njihovih grafika mogu se dobiti svi traženi podaci:

Maksimalna dobit je maksimum funkcije dobiti: dostiže se za x=50 i iznosi 9500 novčanih jedinica.

Maksimalan ukupan prihod je maksimum funkcije ukupnog prihoda: dostiže se za x=200 i iznosi 40000 novčanih jedinica.

Interval rentabilnosti je interval u kome je funkcija dobiti pozitivna: dostiže se između x=5 i x=95.

Primer 4. Ispitati funkciju  i skicirati njen grafik.

Rešenje:

Zvučni talasi se mogu predstaviti pomoću sinusne funkcije: y=asin(ωt+φ), gde je  amplituda, (ωt+φ) faza u momentu t, ω kružna frekvencija, a φ fazna konstanta.

U odnosu na funkciju y=sinx kod funkcije  je amplituda povećana 3 puta, frekvencija (period) je smanjen 2 puta, dok je faza pomerena u levo za .

1. Domen – funkcija je definisana za svaki realan broj.
2. Parnost – funkcija nije ni parna ni neparna zbog pomeranja faze.
3. Ograničenost; - funkcija je ograničena jer važi:
   
   
4. Periodičnost funkcije – funkcija je periodična sa periodom .
5. Nule i znak funkcije
   
   
6. Funkcija ima beskonačno mnogo ekstremuma:
   Maksimumi:
   Minimumi:
7. Funkcija je konveksna za , a konkavna za 
8. Njen grafik izgleda ovako:

Primer 5. Ispitati funkciju  i skicirati njen grafik.

Rešenje:

1. Domen – funkcija je definisana za svaki realan broj različit od nule.
2. Parnost – funkcija nije ni parna ni neparna.
3. Ograničenost - Funkcija je ograničena odozdo jer važi:
   
    .
4. Periodičnost funkcije – funkcija nije periodična.
5. Nule i znak funkcije – nema nula i uvek je pozitivna
6. Funkcija nema ekstremuma:
7. Funkcija je konveksna za , a konkavna za 
8. Njen grafik izgleda ovako: