BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Logika i skupovi

Autor:

Naziv jedinice: Funkcije. Kompozicija funkcija

Pojam funkcije

Pojam funkcije se poistovećuje sa pojmom preslikavanja i spada u osnovne matematičke pojmove. Kao i kod relacija, i kod funkcija se uspostavlja veza između elemenata dva skupa. Kod relacija smo govorili da su elementi a i b u relaciji, a kod funkcija kažemo da se element a slika (ili preslikava) u element b.
Već je na samom početku jasno da su relacije i funkcije u tesnoj vezi. S obzirom na to da funkcije uspostavljaju vezu između elemenata dva skupa, možemo reći da je funkcija jedna relacija. Međutim, kod relacija je jedan element prvog skupa mogao biti u relaciji sa više elemenata iz drugog skupa. U slučaju funkcija, jedan element iz prvog skupa se slika u tačno jedan element drugaog skupa. To predstavlja osnovnu razliku između uopštenog pojma relacije i funkcije.

Definicija: Preslikavanje (funkcija) skupa A u skup B, u oznaci f:A→B, je relacija f⊂A×B, koja ima osobinu da je svaki element skupa A u relaciji f sa tačno jednim elementom skupa B.

Kada je reč o funkciji, onda se umesto (x,y)∈f piše y=f(x). Tada se x naziva original, a y slika, skup A zovemo domen a skup B kodomen funkcije f.

Primer 1: Neka su dati skupovi A={a,b,c} , B={1,2,3,4} i funkcija f:A→B, koja je zadata grafički kao na slici: 

Ovo jeste funkcija jer smo svakom elementu prvog skupa pridružili jedan element drugog (pri tome, neki elementi iz drugog skupa mogu ostati „sami“).
Funkciju možemo zadati i na sledeći način:

f={(a,4),(b,2),(c,2)}    ili     

Napomena: Ako  datom preslikavanju f pridružimo još i par (a,3), onda to neće biti funkcija jer se element a slika u dva različita elementa, što je u suprotnosti sa definicijom funkcije.

Funkciju najčešće zadajemo tako što „objasnimo“ pravilo po kom ćemo pidruživati elemente. Tako npr. možemo napisati f(x)=4-5x, što znači da ćemo elementu 1 pridružiti broj 4-5•1=-1.

Primer 2: Ako je  f:R→R i f(x)=(x+1)³ , odredi f(1),f(-2) i f(3).

Rešenje:
                           f(1)= (1+1)³=2³=8
                           f(-2)=(-2+1)³=(-1)³=-1
                           f(3)=(3+1)³=4³=64
            

Bijektivna preslikavanja

Definicija: Za preslikavanje f:A→B kaže se da je:

1. jedan-jedan (skraćeno pišemo „1-1“) ako važi:
   
   (∀ x₁,x₂∈A)( x₁≠x₂  ⇒f(x₁ )≠f(x₂ ))
   
   ili, što je ekvivalentno:
   
   (∀ x₁,x₂∈A)( f(x₁ )=f(x₂ )  ⇒ x₁=x₂)
   
   
2. „na“ ako (∀ y∈B)(∃x∈A)(f(x)=y)
   
   
3. bijektivno ako je f „1-1“ i „na“

Drugim rečima, u preslikavanju koje je „1-1“ ne postoje dva elementa iz skupa A koja imaju istu sliku (npr. preslikavanje iz prethodnog primera nije „1-1“). Kod preslikavanja koje je „na“ svaki element iz skupa B ima svoj „original“ (ili više njih).
Pokažimo to na jednom primeru:

Primer 3: Da li su sledeća preslikavanja „1-1“ ili „na“ ?

U prvom preslikavanju elementi 3 i 4 imaju istu sliku pa preslikavanje nije „1-1“. Kako svaki element iz skupa B ima original, to je onda ovo preslikavanje „na“.
Preslikavanje g jeste „1-1“ jer se svi elementi iz skupa C slikaju u različite elemente. Ipak ovo preslikavanje nije „na“ jer element a iz skupa D nema svoj original.
Možemo zaključiti da ni funkcija f ni funkcija g nisu bijekcije.

Primer 4: Dokazati da je preslikavanje f:R→R,  f(x)=2x-1 bijektivno preslikavanje.

Rešenje:
Pokažimo prvo da je preslikavanje „1-1“, tj. da važi:

(∀ x₁,x₂∈R)( f(x₁ )=f(x₂ )  ⇒ x₁=x₂) 

Krećemo od leve strane implikacije f(x₁)=f(x₂) i želimo da dokažemo desnu x₁=x₂.

2x₁-1=2x₂-1                
2x₁=2x₂  ⇒ x₁=x₂    dakle jeste „1-1“ preslikavanje.

Prilikom dokazivanja da je funkcija „na“ pokazujemo da za proizvoljno y postoji x koje mu „odgovara“ (koje je original):

f(x)=2x-1
y=2x-1 
2x=y+1  ⇒        pa postoji odgovarajuće x i funkcija je „na“.

Pošto je f i „1-1“ i „na“ zaključujemo da je bijekcija.

Kompozicija funkcija

Definicija: Neka su f:A→B i g:B→C funkcije. Tada se sa g∘f označava kompozicija (proizvod) funkcija f i g i definiše se:

(∀ x∈A)  ((g∘f)(x)=g(f(x))

Jasno je da g∘f: A→C.

Važno je napomenuti da kompozicija funkcija nije komutativna, ali jeste asocijativna. Dakle:

g∘f≠f∘g

(h∘g)∘f=h∘(g∘f)
 

Primer 5: Neka su date funkcije  f:R→R i  g:R→R pri čemu je  f(x)=3x+2 i g(x)=x². Odrediti preslikavanje  g∘f .

Rešenje:
(g∘f)(x)=g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)²=9x²+12x+4