BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Trigonometrija pravouglog trougla

Autor:

Naziv jedinice: Dokazivanje identiteta

Definicija identiteta

Da se podsetimo na početku sta smatramo pod izrazom identitet:

Ako su neka dva izraza povezana znakom jednakosti tako da je ta jednakost uvek tačna, onda su ti izrazi identični. Samu jednakost nazivamo identitet.
U slučaju da je reč o izrazu sa promenljivom, onda jednakost mora biti tačna za bilo koju vrednost promenljive.

Primer:  Sledeći izrazi su identiteti:
                   

Trigonometrijski identitet 

U prošloj lekciji već smo imali prilike da se sretnemo sa nekim važnim trigonometrijskim identitetima koji su važili za bilo koji oštar ugao:

Ovi identiteti su dokazani u lekciji 1.4. i predstavljaju osnovu za dokazivanje nekih drugih trigonometrijskih identiteta. Svi drugi trigonometrijski identiteti su, na neki način, kombinacija prethodnih.

Dokazivanje trigonometrijskih identiteta

Postoje dva pristupa pri dokazivanju identiteta:

1) Prvi pristup se sastoji u tome da se i leva i desna strana jednakosti svedu na najprostiji oblik. Ukoliko je reč o identitetu, trebalo bi da su na kraju ti najprostiji oblici jednaki. Ponekad je dovoljno i samo transformisati jednu stranu jednakosti da bi se dobila druga. Pokazaćemo to na jednom primeru:

Primer:  Dokazati da važi:

Krenućemo od leve strane jednakosti i proširićemo i brojilac i imenilac izrazom 1+cosα. Dobijamo:

  
Na ovaj način smo krenuli od leve strane, transformisali je i dobili desnu stranu jednakosti. Dokaz je završen i početna jednakost je identitet.

2) Drugi pristup pri dokazovanju identiteta: ako treba da dokažemo da su dve strane jednakosti identične (jednake), onda to možemo uraditi tako što dokažemo da je njihova razlika jednaka nuli.

Primer:  Dokazati da važi:

Dokazaćemo da je  .

Koji od pristupa bi trebalo da koristimo uglavnom zavisi od samog zadatka, ali će i jedan i drugi način dovesti do rešenja ukoliko se transformacije pravilno koriste.

Primeri:

Dokazati identitete:

Rešenja:

1. Uglovi x i 90°-x su komplementni, pa zato važi ctg(90°-x)=tgx:

ctgx∙ctg(90°-x)=ctgx∙tgx=1 

2. Dokazaćemo da je razlika desne i leve strane jednakosti jednaka nuli:

cos²x-cos⁴ x+sin⁴ x-sin² x=cos² x∙(1-cos² x)-sin² x∙(1-sin² x)=         
=cos² x∙sin² x- sin² x∙cos² x=0

3. Primenićemo formulu za razliku kvadrata:

4. Dokazaćemo da je razlika leve i desne strane jedna nuli:

5.