BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Racionalni algebarski izrazi

Autor:

Naziv jedinice: Deljenje polinoma

Naučili smo da sabiramo, oduzimamo i množimo polinome. Naredna definicija nam objašnjava pod kojim uslovima možemo ih delimo. 
 
Definicija1: Neka su A i B dva polinoma, pri čemu je B različit od nultog. Ako postoji takav polinom Q da važi A=BQ, onda kažemo da je polinom A deljiv polinomom B, ili da je B delilac (činilac) polinoma A, a Q zovemo količnikom pri deljenju  A sa B.

Primer 1:

1. Polinom x²-1 je deljiv polinomom x-1, jer je x²-1=(x-1)(x+1). To znači da bi količnik tog deljenja bio x+1.
2. Sa druge strane, polinom x²+1  ne možemo da podelimo sa x-1 zato što ne postoji polinom Q(x) takav da je x^2+1=(x-1)Q(x). Kako to znamo? Pretpostavićemo suprotno, dakle da postoji. Tada bi data jednakost morala da važi za svako x. Međutim, ako zamenimo da je x=1, dobija se 2=0, što je netačno, te je i pretpostavka pogrešna.

Iz prethodnog primera uočavamo da je deljenje polinoma operacija koja nije uvek izvodljiva u skupu polinoma. Sledeća teorema govori o tzv. deljenju sa ostatkom:

Teorema 1: Neka su  A i B proizvoljni polinomi, pri čemu je polinom B različit od nultog. Tada postoje i jedinstveno su određeni polinomi Q i R, takvi da važi:

A=BQ+R,

pri čemu je polinom R ili nulti ili ima manji stepen od polinoma B.

Definicija 2: Polinom Q iz prethodne teoreme se naziva količnikom, a polinom R ostatkom pri deljenju polinoma A polinomom B.

Primer 2: Naći količnik i ostatak pri deljenju polinoma A(x)=8x⁴-10x³+15x²+13x-2 sa polinomom B(x)=2x²-3x+5.

Rešenje: 

Koristićemo „metod neodređenih koeficijenata“. Na osnovu teoreme 1. znamo da je A=BQ+R, gde je Q količnik stepena 2, a R ostatak najviše prvog stepena. Najstariji koeficijent mora biti 4. Zato je:

8x⁴-10x³+15x²+13x-2=(2x²-3x+5)(4x²+bx+c)+(dx+e).

Podsetimo se da su dva polinoma jednaka ako imaju jednake stepene i sve odgovarajuće jednake koeficijente. Sređivanjem desnog dela jednakosti, imamo:

8x⁴-10x³+15x²+13x-2=
=8x⁴+2bx³+2cx²-12x³-3bx²-3xc+20x²+5bx+5c+dx+e

8x⁴-10x³+15x²+13x-2=
=8x⁴+(2b-12) x³+(2c-3b+20) x²+(-3c+5b+d)x+5c+e
  

Izjednačavanjem odgovarajućih koeficijenata, dobijamo sistem jednačina:

-10=2b-12  15=2c-3b+20  13=-3c+5b+d  -2=5c+e

  2b=-10+12  ⇒  2b=2  ⇒ b=1

 15=2c-3+20 ⇒  2c=-2 ⇒  c=-1

 13=3+5+d  ⇒  d=5

 -2=-5+e  ⇒  e=3

 Dakle, količnik je 4x²+x-1, a ostatak 5x+3.

Primer 3: Podeliti polinome:

Prvo delimo najstarije članove 2x⁵:x², zatim množimo dobijeni monom 2x³ sa x²-3x+2 i nastaje 2x⁵-6x⁴+4x³, a taj rezultat oduzimamo od polaznog polinoma. U rezultatu
 x⁴-6x³+12x²-9x+2 uočavamo najstariji koeficijent x⁴ i delimo ga sa x², pa dobijenim količnikom množimo x²-3x+2. Postupak se nastavlja sve dok nam ostatak ne postane nula ili polinom stepena manjeg od dva.

Primer 4:

(x⁴-2x³-4x²+24x-31):(x²+x-6)= x²-3x+5
-
 x⁴+  x³-6x²
                                      
                  -3x³+2x²+24x-31
                  -
                  -3x³-3x²+18x  
                                                    
                        5x²+6x-31
                        -
                        5x²+5x-30
                                                 
          Ostatak:      x-1 

Primer 5: Dat je polinom p(x)=2x³-4mx²+mx-2m. Odrediti parametar m tako da polinom p(x) bude deljiv sa x-2.

Rešenje:

Iz uslova zadatka znamo da postoji neki polinom q(x) takav da je:

p(x)=(x-2)q(x).
 
 Taj polinom mora biti stepena dva, tj. oblika je 2x²+bx+c.

2x³-4mx²+mx-2m=(x-2)(2x²+bx+c)

2x³-4mx²+mx-2m=2x³+bx²+cx-4x²-2bx-2c

2x³-4mx²+mx-2m=2x³+(b-4) x²+(c-2b)-2c

 -2c=-2m  →   c=m

 b-4=-4m  →   b=-4m+4

 c-2b=m   →   m-8m+8=m →   -8m=-8  →  m=1