BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Trigonometrija pravouglog trougla

Autor:

Naziv jedinice: Definicija trigonometrijskih funkcija oštrog ugla pravouglog trougla

Neka je dat pravougli trougao ABC sa pravim uglom kod temena C.

              a,b – katete
              c –  hipotenuza
              α , β – oštri uglovi

Posmatrajmo ugao α. Kateta koja se nalazi nasuprot njemu je kateta a. Odnos ove katete i hipotenuze je jedna od trigonometrijskih funkcija ugla α koju zovemo sinus.

Definicija 1: Odnos naspramne katete u odnosu na oštar ugao α pravouglog trougla i hipotenuze nazivamo sinus ugla α i obeležavamo sinα. Dakle, važi:

Takođe, možemo posmatrati i odnos nalegle katete i hipotenuze. Za ugao α nalegla kateta je kateta b, a ovaj odnos zovemo kosinus.

Definicija 2: Odnos nalegle katete u odnosu na oštar ugao α pravouglog trougla i hipotenuze nazivamo kosinus ugla α i obeležavamo ga sa cosα:

 
Ukoliko sada posmatramo ugao β, dobijamo da važi:
          

Možemo primetiti da je nalegla kateta za ugao α isto što i naspramna kateta za ugao β, te su odgovarajoći sinus i kosinus jednaki:

Od osnovnih trigonometrijskih funkcija ostalo je da definišemo još tangens i kotangens oštrog ugla:

Definicija 3: Odnos naspramne i nalegle katete u odnosu na ugao α pravouglog trougla predstavlja tangens ugla α i označavamo ga sa  tgα:

           
Definicija 4: Odnos nalegle i naspramne katete u odnosu na ugao α pravouglog trougla predstavlja kotangens ugla α i označavamo ga sa  ctgα:

Za sinus i kosinus kažemo da su kofunkcije, a isto tako i za tangens i kotangens.

Kao i za sinus i kosinus, tako za tangens i kotangens važi sledeće:

tgα=ctgβ
ctgα=tgβ

Ovo svojstvo trigonometrijskih funkcija važi za komplementne uglove α i β, tj. ako je α+β=90ᵒ.

Za trigonometrijske funkcije oštrog ugla α pravouglog trougla važe i sledeća svojstva:

1. 0 <sinα<1
2. 0 <cosα<1
3. tgα>0
4. ctgα>0

Vrednosti svih trigonometrijskih funkcija oštrog ugla su pozitivni brojevi, jer su dužine stranica trougla pozitivni brojevi. Osim toga, sinus i kosinus oštrog ugla moraju biti manji od 1, jer su količnici katete i hipotenuze, a hipotenuza je najduža stranica u pravouglom trouglu, jer se nalazi naspram najvećeg ugla.

Sekans i kosekans

Osim osnovnih trigonometrijskih funkcija, definišu se i funkcije sekans i kosekans na sledeći način:

 
Pokažimo sada da vrednosti osnovnih trigonometrijskih funkcija ne zavise od dužine kateta i hipotenuze pravouglog trougla. Zato posmatrajmo sledeću sliku:

Dva trougla imaju jednake uglove (ugao α  im je zajednički ugao, a ugao β1 jednak je uglu β, jer su to oštri uglovi sa paralelnim kracima), pa su slični, tj. ∆ABC~∆AB1C1.

Kako su sličnim trouglovima proporcionalne odgovarajuće stranice, važi:

Primetimo da je količnik naspramne katete ugla α i hipotenuze jednak u ovim sličnim trouglovima, tj. ovaj količnik je konstantan za zadati oštar ugao α. Količnik bi se promenio samo ukoliko promenimo ugao α.

Slično važi za količnik nalegle katete i hipotenuze, količnik naspramne i nalegle katete i količnik nalegle i naspramne katete ugla α.

Primer 1: Ako je hipotenuza pravouglog trougla 17 cm, a jedna kateta 8 cm, izračunati vrednosti trigonometrijskih funkcija ugla kojeg obrazuju duža kateta i hipotenuza.

Rešenje:

 
Odredimo drugu katetu uz pomoć Pitagorine teoreme:

 c²=a²+b²
 a²=17²-8²
 a²=289-64
 a²=225     a=√225  a=15cm

Ugao između duže katete i hipotenuze je β, dakle:

Primer 2: Dati su kateta a = 8 cm pravouglog trougla i tgα=4/3 . Odrediti hipotenuzu.

Rešenje:

c²=a²+b²=8²+6²=100        c=√100=10 cm

Primer 3: Date su stranice pravougaonika  a = 4 cm i b = 3 cm. Odrediti vrednosti svih trigonometrijskih funkcija ugla koji dijagonala obrazuje sa kraćom stranicom.

Rešenje:

                                                         
 d²=a²+b²=4²+3²=25        d=√25=5 cm   

Primer 4: Izračunati vrednosti trigonometrijskih funkcija nagibnog ugla dijagonale kocke prema osnovi.

Rešenje:

Prvo je potrebno izraziti D i d u funkciji od stranice a:

d²=a²+a²      d²=2a²     d=a√2

D²=d²+a²      D²=2a²+a²    D²=3a²        D=a√3

Primer 5: Dijagonale romba su 16 cm i 12 cm. Odrediti vrednosti trigonometrijskih  funkcija ugla između stranice i kraće dijagonale.

Rešenje: 
                        

Prvo računamo dužinu stranice romba: