BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvu godinu visokog obrazovanja

Modul: Uvodni pojmovi

Autor:

Naziv jedinice: Binomna formula

Paskalov trougao

Paskalov trougao je numerička šema brojeva koji su raspoređeni na način prikazan na slici 1.

Slika 1. Paskalov trougao

U prvoj vrsti se upiše broj jedan, kao i u svakoj sledećoj vrsti na početku i kraju. Ostali brojevi se dobijaju kao zbir dva broja iznad tog broja koji se upisuje.

Ovi koraci se ponavljaju sve dok se red ne popuni, a tada se postupak ponavlja na novi red.

Paskalov trougao predstavlja matematički model deobe živih ćelija, univerzalnog zakona atomske strukture, rasporeda listova oko stabljike, razmnožavanja životinja, raspored DNA molekula.

Numerički obrasci i pravila u Paskalovom trouglu su pravo matematičko čudo. Paskalov trougao je prepun skrivenih odnosa i veza sa dubljim matematičkim konceptima. U sebi on sadrži Fibonačijeve brojeve, Lukasove brojeve, n-tougaone brojeve, brojevne sisteme...

Paskalov trougao je povezan sa sličnošću i fraktalima koji predstavljaju kompleksne matematičke veze nađene u prirodi i koji su primer lepote matematike.

Paskalov trougao predstavlja model binomnih koeficijenata i u sebi sadrži rešenja raznih kombinatornih problema.

Binomna formula

Binomna formula je opšta formula pomoću koje se izračunava proizvoljan stepen binoma:

gde je

Neki specijalni slučajevi:

 
 
Koeficijenti u binomnoj formuli   se nazivaju binomni koeficijenti. Ti brojevi imaju niz interesantnih osobina, a trougaona šema binomnih koeficijenata se nalazi u Paskalovom trouglu.

Dokaz binomne formule se izvodi principom matematičke indukcije:

Prvo se proveri tvrđenje za prvi prirodan broj:

što je tačno.

Indukcijska pretpostavka je da tvrđenje važi za proizvoljan prirodan broj n:

 .
Pot tom pretpostavkom ispituje se da li je tvrđenje tačno i za njegovog sledbenika n+1:

Posle pregrupisavanja sličnih monoma, dobija se:

Kao za binomne koeficijente, važe sledeće jednakosti:

dobija se:

 
što je i trebalo dokazati.

Ako se posmatraju neki stepeni broja 11, dobijaju se sledeći rezultati:

11⁰ = 1
11¹ = 11
11² = (10 + 1)² = 100+2.10+1 = 121
11³ = (10 + 1)³ = 1000+3.100+3.10+1 = 1331
11⁴ = (10 + 1)⁴ = 10000+4.1000+6.100+4.10+1 = 14641
11⁵ = (10 + 1)⁵ = 100000+5.10000+10.1000+10.100+5.10+1 = 161051
11⁶ = (10 + 1)⁶ = 1000000+6.100000+15.10000+20.1000+15.100+6.10+1 = 1771561
 .....

Može se primetiti da do četvrte vrste Paskalovog trougla važi da n-ta vrsta Paskalovog trougla predstavlja zapis n–tog stepena broja 11.

U šestom redu Paskalovog trougla javljaju se dvocifreni brojevi. To se može prikazati na sledeći način:

Slika 2. Šesti red Paskalovog trougla

Slično je i sa narednom vrstom Paskalovog trougla:

 
Slika 3. Sedmi red Paskalovog trougla

Može se izvesti sledeći zaključak: decimalni zapis n–tog stepena broja 11 se očitava u n–toj vrsti Paskalovog trougla. Za stepene do četvrtog je to direktno, dok je očitavanje zapisa petog i viših stepena iz Paskalovog trougla nešto manje očigledno zbog pojave višecifrenih brojeva u trouglu.

Primer 1: Primeniti binomnu formulu na izraz  .

Rešenje:

Primer 2: Koristeći se binomnom formulom izračunati na 5 decimala izraz  0.997⁴.

Rešenje:

 
Samo prva tri sabirka utiču na prvih pet decimala:

Primer 3: U razvoju binoma   naći član koji sadrži  .

Rešenje:

Opšti k+1-vi član ima oblik:  .
Odatle se dobija da u razvoju binoma   opšti član glasi:  , odnosno da 12-k mora biti jednako sa 6, tj. k=6.

Sedmi član sadrži   i glasi:  .

Primer 4: Naći racionalne članove u razvoju binoma  .
Rešenje:

Opšti k+1-vi član ima oblik:  .
Kako k uzima vrednosti od 0 do n, da bi članovi bili racionalni mora da važi:

Jedina vrednost za k koja zadovoljava sva tri uslova je k=2, tj. treći član je racionalan i glasi: