BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Realni brojevi

Autor:

Naziv jedinice: Apsolutna vrednost realnog broja

Definisanje apsolutne vrednosti

Ukoliko posmatramo dva realna broja x ∈R  i y ∈R, možemo uvek utvrditi da je jedan veći ili jednak sa drugim. Ako je y taj broj, onda to zapisujemo  x ≤ y. Takođe, možemo reći i da je veći broj maksimum od ta dva broja i zapisati y=max(x,y). Ovaj zapis je bitan prilikom definisanja apsolutne vrednosti nekog broja.

Definicija: Broj max(x,-x) naziva se apsolutnom vrednošću broja x i označava se sa |x|.

Primer 1:

a) max(-5,5)=5 pa je |-5|=5 i |5|=5
b) max(-10,2 , 10,2)=10,2   pa je |-10,2|=10,2 i |10,2|=10,2

Na osnovu definicije zaključuje se da važi sledeće tvrđenje koje se često koristi u rešavanju zadataka.

Tvrđenje: Za svaki x ∈R  važi:

a)

b)  |-x |=| x |         c)  | x |≥ 0

Za određivanje apsolutne vrednosti sada nećemo koristiti određivanje maksimuma dva broja, već tvrđenje a).

Primer 2: Izračunati vrednost izraza .

Rešenje:

Apsolutna vrednost i brojevna prava

Apsolutna vrednost nekog broja u suštini predstavlja njegovu udaljenost od nule na brojevnoj pravoj. Tako, na primer, |-2|=2 i |2|=2 kazuje da su brojevi -2 i 2 udaljeni od nule na brojevnoj pravoj po 2 jedinice mere:

Ova interpretacija apsolutne vrednosti se dosta koristi prilikom rešavanja nejednačina sa apsolutnom vrednošću.

Zato, predstavimo na brojevnoj pravoj sve brojeve za koje važi:

a) |x|<a                       b)  |x|>a                      

a) Brojevi čija je apsolutna vrednost manja od nekog broja a su svi oni brojevi na brojevnoj pravoj koji su manje od a udaljeni od 0.

Rešenje ove nejednačine je –a<x<a, što zapisujemo:

x∈ (-a,a)

b) Brojevi čija je apsolutna vrednost veća od nekog broja a su svi oni brojevi na brojevnoj pravoj koji su više od a udaljeni od 0.

Rešenje ove nejednačine je x<-a  ili x>a,  što zapisujemo:

x∈ (-∞,-a)∪(a,+∞)

Primer 3: Rešiti nejednačinu |5x-7|≤3

Rešenje:

Ova nejednačina je ekvivalentna dvojnoj nejednačini:

–3≤5x-7≤3

Ovu nejednačinu delimo na dve:  –3≤5x-7 i 5x-7≤3

 5x-7≥-3                     5x-7≤3
    
 5x≥-3+7                      5x≤3+7

5x≥4                              5x≤10

x≥  4/5                              x≤2
                                                                         

Rešenje:

Primer 4: Rešiti nejednačinu |6-x|> 3,1

Rešenje:

Nejednačina je ekvivalentna nejednačinama:

6-x<-3,1        ili         6-x>3,1

x>6-(-3,1)                    x<6-3,1

 x>6+3,1                         x<2,9

 x>9,1

Rešenje nejednačine je: x∈(-∞,2,9)∪(9,1 ,+∞)

Prilikom rešavanja jednačine |x|=a trebalo bi imati u vidu da postoje dva rešenja:

                                            x=a       i      x=-a

Pimer 5: Rešiti jednačinu |2x-1|=9

Rešenje:

2x-1=9                ili            2x-1=-9

 2x=9+1                             2x=-9+1

2x=10                                  2x=-8

x=5                                        x=-4

Postoje dva rešenja: x=5 i x=-4

Ako je u apsolutnoj zagradi izraz koji zavisi od neke promenljive x, a sa druge strane jednakosti je takođe izraz sa promenljivom, onda je potredno razlikovati dva slučaja: kada je izraz u zagradi pozitivan i kada je negativan. Pokažimo to na jednom primeru.

Primer 6: Rešiti jednačinu  |2x-4|=x+3

Rešenje:

Prvi slučaj:

Neka je x≥2 . Tada jednačina postaje:
          
2x-4=x+3

2x-x=3+4

x=7      ovo jeste rešenje jer zadovoljava pretpostavku da je x≥2.

Drugi slučaj:

Neka je x<2. Tada je početna jednačina oblika:

-(2x-4)=x+3

-2x+4=x+3

-2x-x=3-4

-3x=-1

x= 1/3     i ovo je rešenje jer zadovoljava uslov x<2 .