BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvi razred srednje škole

Modul: Geometrija

Autor:

Naziv jedinice: Trougao. Značajne tačke trougla

Elementi trougla

Trougao je poligon ograničen sa tri duži koje nazivamo stranice trougla. U osnovne elemente trougla spadaju još i temena i unutrašnji uglovi .

Tvrđenje 1: Zbir unutrašnjih uglova u trouglu je 180°, tj. važi:

α+β+γ=180°

Produžetkom stranica trougla dobijamo spoljašnje uglove trougla α₁, β₁ i γ₁ .

Tvrđenje 2: Zbir spoljašnjih uglova trougla je 360°, tj. važi:

α₁+ β₁+ γ₁=360°

Odnos stranica i trouglu i odnos uglova i stanica opisuje sledeće tvrđenje:

Tvrđenje 3:

a) U svakom trouglu zbir dve stranice veći je od treće stranice, a razlika dve stranice manja je od treće stranice. 

b) Naspram veće stanice u trouglu nalazi se veći ugao i obrnuto: naspram većeg ugla nalazi se veća stranica.

Značajne tačke trougla

Osnovne značajne tačke trougla su ortocentar, težište, centar upisane i centar opisane kružnice.

Tvrđenje 4:

1. Visine trougla seku se u jednoj tački (ortocentar trougla).
2. Težišne linije trougla seku se u jednoj tački (težište trougla).
3. Simetrale stranica trougla seku se u jednoj tački (centar opisane kružnice).
4. Simetrale uglova trougla seku se u jednoj tački (centar upisane kružnice).

Primer 1: Ako su α=52° i β=68° unutašnji uglovi nekog trougla ABC, izračunati ugao pod kojim se seku sumetrale ugla α i trećeg ugla γ .

Rešenje:   

Označimo sa φ traženi ugao.

γ=180°-(α+β)=180°-(52°+68°)=180°-120°=60°

Primer 2: Pod kojim uglom se seku simetrale spoljašnjih uglova na hipotenuzi pravouglog trougla?

Rešenje:

Za spoljašnje uglove trougla važi α₁+β₁+ γ₁=360°. Kako je kod pravouglog trougla γ₁=90^° dobijamo da je α₁+β₁=360°-90°=270°. Odatle sledi

Zbir unutrašnjih uglova u trouglu ABD je 180°, pa važi:

Primer 3: Stanica trougla manja je od njegovog poluobima. Dokazati.

Rešenje: 

Tvrđenje koje treba dokazati možemo zapisati:

Pretpostavimo da važi suprotno:

Odatle bismo dobili da je  2a>a+b+c tj. a>b+c, što nije moguće jer je u trouglu svaka stranica manja od zbira druge dve stanice. Prema tome važi:

Primer 4: Neka je AM simetrala ugla α (M ∈ BC). Dokazati da je BM<AB.

Rešenje:

            

Kako se naspram većeg ugla u trouglu ABM nalazi veća stranica, dobijamo da je:

BM<AB

Primer 5: U trouglu ABC prava p∥AB sadrži presek S simetrala uglova α  i β . Ako je p∩AC={M}  ,p∩BC={N} , onda je MN=AM+BN . Dokazati.

Rešenje:

   (uglovi sa paralelnim kracima), pa je trougao AMC jednakokraki trougao i važi MS=AM.

   (uglovi sa paralelnim kracima), pa je trougao BSN jednakokraki trougao i važi SN=BN.

MN=MS+SN=AM+BN