BAZA ZNANJA

Kurs: Matematika za prvu godinu visokog obrazovanja

Modul: Izvodi i diferencijali

Autor:

Naziv jedinice: Ispitivanje funkcija pomoću izvoda – konveksnost i konkavnost funkcije

• Konveksnost i konkavnost funkcija

Neka je funkcija ƒ diferencijabilna na intervalu (a,b). Grafik funkcije ƒ je konveksan (konkavan) na intervalu (a,b), ako za svako c∈(a,b) i za svako x∈(a,b)\{c} važi:

 ƒ(x)>y_t(ƒ(x)<y_t),

gde je y_t=ƒ(c)+ƒ'(c)(x-c) jednačina tangente na krivu y=ƒ(x) u tački (c,ƒ(c)).

To znači da za konveksan (konkavan) grafik funkcije na intervalu (a,b) važi da je grafik iznad (ispod) tangente u proizvoljnoj tački tog intervala.  

Ako je grafik funkcije ƒ konveksan (konkavan) intervalu (a,b), kaže se da je i funkcija ƒ konveksna (konkavna) intervalu (a,b).

Daje se sledeći kriterijum za određivanje intervala konveksnosti funkcije pomoću izvoda:

Neka je funkcija   dva puta diferencijabilna na intervalu (a,b).

• Ako je ƒ''(x)>0 za svako x∈(a,b), tada je funkcija ƒ konveksna na intervalu (a,b).

• Ako je ƒ''(x)<0 za svako x∈(a,b), tada je funkcija ƒ konkavna na intervalu (a,b).

Primer 1. Ispitati konveksnost funkcije ƒ(x)=x³-3x²+2.

Rešenje: traži se drugi izvod funkcije: ƒ''(x)=(x³-3x²+2)''=(3x²-6x)'=6x-6=6(x-1).

Iz znaka funkcije drugog izvoda može se zaključiti:

• kada je: ƒ''(x)>0↔x>1 funkcija je konveksna.
• kada je: ƒ''(x)<0↔x<1 funkcija je konkavna.
   
   

• Prevojne tačke

Neka je funkcija ƒ neprekidna na intervalu (a,b) i diferencijabilna u tački c∈(a,b). Tačka P(c,ƒ(c)) je prevojna tačka grafika funkcije ƒ ako postoji takvo δ>0 da je funkcija ƒ konveksna na intervalu (c-δ,c) i konkavna na intervalu (c,c+δ), ili da je konkavna na intervalu (c-δ,c) i konveksna na intervalu (c,c+δ).

Daje se sledeći kriterijum za određivanje prevojnih tačaka funkcije pomoću izvoda:

Neka je funkcija ƒ diferencijabilna u tački c∈(a,b) i ima drugi izvod na intervalu (a,b). Tačka P(c,ƒ(c)) je prevojna tačka grafika funkcije ƒ ako važi jedan od sledeća dva uslova:

• ƒ''(x)>0 za svako x∈(a,c) i ƒ''(x)<0 iza svako x∈(c,b) ili

• ƒ''(x)<0 za svako x∈(a,c) i ƒ''(x)>0 za svako x∈(c,b) ili

Uslov ƒ''(c)=0 je potreban, ali ne i dovoljan da bi funkcija ƒ imala prevojnu tačku P(c,ƒ(c)).

Primer 2. Odrediti prevojne tačke funkcije ƒ(x)=x⁴-3x+1.

Rešenje: traži se drugi izvod funkcije: ƒ''(x)=(x⁴-3x+1)''=(4x³-3)'=(4x³-3)'=12x²≥0.

Iako funkcija drugog izvoda ima nulu za x=0, u toj tački funkcija nema prevoj jer je funkcija uvek konveksna.

Primer 3. Ispitati konveksnost i odrediti prevojne tačke funkcije 

Rešenje: traži se drugi izvod funkcije:

Odatle sledi:

• kada je: ƒ''(x)>0↔x>0 funkcija je konveksna.

• kada je: ƒ''(x)<0↔x<0 funkcija je konkavna.
   

Kako funkcija drugog izvoda nema nula, funkcija nema prevojne tačke.

Ako se desi da su svi do n-tog izvoda funkcije ƒ jednaki nuli (n-ti izvod je različit od nule) u nekoj tački iz njenog domena, za ispitivanje da li se radi o prevojnoj tački važi da ukoliko je n neparan broj funkcija ima prevojnu tačku.

Primer 4. Ispitati konveksnost i odrediti prevojne tačke funkcije 

Rešenje: traži se drugi izvod funkcije:

Odatle sledi:

• Kada je: , funkcija je konveksna (u nuli funkcija nije definisana).

• Kada je:  funkcija je konkavna.

• Kada je:  funkcija ima prevojnu tačku 

Primer 5. Ispitati konveksnost i odrediti prevojne tačke funkcije ƒ(x)=x²lnx.

Rešenje: traži se drugi izvod funkcije:

Odatle sledi:

• kada je:  funkcija je konveksna (u nuli funkcija nije definisana).
• Kada je:  funkcija je konkavna.
• Kada je:  funkcija ima prevojnu tačku