BAZA ZNANJA

Kurs: - Kvantitativne metode u poslovanju

Modul: Ponuda i tražnja

Autor:

Naziv jedinice: Funkcija tražnje i ponude

Osnovni pojmovi i definicije

Za razumevanje ove nastavne jedinice potrebno je određeno predznanje koje će biti prezentovano u narednih nekoliko redova.

Kao prvo, definisaćemo funkciju jedne realne nezavisne promenljive.

Funkcija jedne realne promenljive predstavlja vezu između nezavisno promenljive veličine koja se najčešće obeležava sa x i zavisno promenljive veličine koja se obeležava sa y. Veličina y je zavisna jer njena vrednost zavisi od vrednosti veličine x. Funkcije imaju veoma široku primenu u ekonomiji: preko njih se može izraziti zavisnost rezultata od ulaganja, ponude i tražnje od visine cene, troškova od obima proizvodnje itd.

Definicija 1: Funkcijom iz skupa X u skup Y nazivamo svako preslikavanje f skupa X u skup Y koje se odvija po tačno određenom zakonu pridruživanja.

Funkciju f simbolički zapisujemo na sledeći način:

y = f(x)

Primer 1: Ako znamo da potrošač 60% svoga dohotka troši, a 40% štedi i ako sa x obeležimo raspoloživi dohodak, a sa y količinu dohotka koja odlazi na potrošnju, onda funkciju potrošnje (zavisnost potrošnje od dohotka) možemo prestaviti na sledeći način:

y = 0,6 ∙ x

Dakle, u ovom slučaju imamo da svakoj vrednosti dohotka x odgovara tačno jedna vrednost potrošnje y, a odnos između x i y je u potpunosti definisan navedenom funkcijom. Sa porastom dohotka x će u apsolutnom iznosu rasti i količina novca koja se izdvaja za potrošnju y i obrnuto - ako dohodak opada, opada i potrošnja. Zakon pridruživanja definisan je time da je vrednost potrošnje uvek 60% od vrednosti dohotka. Ako, recimo, dohodak potrošača iznosi 35000 dinara, onda ćemo količinu novca koju on izdvaja za potrošnju odrediti na sledeći način:

y = 0,6 · 35000 >=> y = 21000 dinara

Ako pretpostavimo da je dohodak potrošača pao na 32000 dinara, biće:

y = 0,6 · 32000 >=> y = 19200 dinara

Iz karakteristika prethodno opisane funkcije i njenih varijabli (sa x je označen dohodak, a sa y deo dohotka koji se koristi za potrošnju) proizlaze i matematičke osobine promenljivih x i y. I za dohodak i za deo dohotka koji se koristi za potrošnju važi da su to uvek pozitivne vrednosti ili vrednosti jednake nuli.

Definicija 2: Skup vrednosti koje mogu uzimati promenljive određene funkcije naziva se oblast definisanosti funkcije ili domen funkcije.

Oblast definisanosti funkcije iz prethodnog primera možemo definisati na sledeći način:

što znači da zavisna promenljiva y može uzimati vrednosti jednake ili veće od nule; isto važi i za zavisnu promeljivu x:

U prethodnom primeru funkcijom je predstavljena veza između visine dohotka i dela dohotka koji se troši. Ta veza omogućava izračunavanje iznosa potrošnje ako je poznata visina dohotka. Međutim, ova funkcija omogućava i da se utvrdi visina dohotka ako je poznat iznos potrošnje.

Definicija 3: Neka je data funkcija y=f(x). Ako promenljive veličine zamene svoje uloge - zavisno promenljiva postane nezavisno promenljiva i, obratno, nezavisno promenljiva postane zavisno promenljiva dobićemo inverznu funkciju funkcije f(x) koja se obeležava sa  f^-1(x) i u kojoj će x biti izraženo kao funkcija od y:

x = f^-1(y) 

Primer 2: Na osnovu funkcije iz primera 1 odrediti visinu dohotka potrošača ako znamo da deo njegovog dohotka koji odlazi na potrošnju iznosi 15000 dinara.

Rešenje:

y = 0,6x => treba odrediti inverznu funkciju f-1(x) odnosno izraziti dohodak kao funkciju dela dohotka koji odlazi na potrošnju:

Definicija 4: Za funkciju f(x) kažemo da je parna ako za svako x iz oblasti definisanosti važi:

f(-x) = f(x) 

a da je neparna ako važi

f(-x) = -f(x) 

Za parne funkcije je važno da je njihov grafik simetričan u odnosu na y osu, dok je grafik neparne funkcije simetričan u odnosu na koordinatni početak.

Definicija 5: Ako za funkciju y=f(x) definisanu u nekom intervalu (a,b) važi da je:
x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂) funkcija je monotono rastuća u intervalu (a,b)
x₁ < x₂ => f(x₁) > f(x₂) funkcija je monotono opadajuća u intervalu (a,b)
X₁ < x₂ => f(x₁) ≤ f(x₂) funkcija je neopadajuća u intervalu (a,b)
x₁ < x₂ => f(x₁) ≥ f(x₂) funkcija je nerastuća u intervalu (a,b).

Primer 3: Odrediti monotonost sledećih funkcija:

a) y = 3 + x
b) y = 3 - x

Rešenje:

a) funkcija je monotono rastuća jer za svako x₁ < x₂ => f(x₁) < f(x₂)
b) funkcija je monotono opadajuća jer za svako x₁ < x₂ => f(x₁) > f(x₂) 

Granična vrednost funkcije u određenoj tački odnosi se na ponašanje vrednosti y kada x teži određenoj vrednosti.

Definicija 6: Broj L je granična vrednost funkcije y = f(x), koja je definisana u okolini tačke a (osim možda u samoj tački a), u tački x = a, ako za svako ε > 0 postoji broj δ > 0 takav da za svako x ≠ a važi:

a - δ < x < a + δ => |f(x) - L| < ε 

Tada kažemo da je granična vrednost funkcije y = f(x) u tački a jednaka L i obeležavamo:

Primer 4: Suma dividendi iznosi milion dinara i deli se na x akcionara preduzeća. U tom slučaju, vrednost dividende po jednom akcionaru biće data funkcijom y = 1000000/x . Odrediti vrednost kojoj će težiti vrednost dividende po jednom akcionaru ako broj akcionara teži 50.

Rešenje:

Traži se granična vrednost funkcije y = 1000000/x u tački x₀ = 50 . Rešenje će biti:

Odatle sledi da će kada broj akcionara teži 50 dividenda po akcionaru težiti 20000 dinara.

Pojam granične vrednosti značajan je za izračunavanje izvoda funkcije. Izvod funkcije je veoma korisno analitičko sredstvo koje ima široku primenu u ekonomiji.

Neka je funkcija y = f(x) definisana u intervalu [a,b]. Uzmimo za x vrednost x₀ iz tog intervala i označimo sa y₀ odgovarajuću vrednost za y. Neka je x₁ vrednost za x iz istog intervala koju možemo dobiti kad dodamo pozitivan ili negativan priraštaj broju x₀:

x₁ = x₀ + Δx 

Vrednosti x1 odgovara vrednost y1 za y, pa će i y imati priraštaj Δy:

Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀)

Znači, Δy pokazuje priraštaj funkcije y = f(x) tj. priraštaj y ako je priraštaj x jednak Δx. Ako, dalje, formiramo količnik:

primetićemo da taj količnik nije određen za Δx = 0 (i brojilac i imenilac su nule). Nas interesuje da li postoji granica ovog količnika kad Δx teži nuli. Ako postoji granica h tog količnika, zovemo je izvod funkcije y = f(x) u tački x = x₀ .

Definicija 6: Izvod funkcije y = f(x) u tački x = x₀ je granična vrednost količnika 
 

Tablica izvoda nekih elementarnih funkcija:

Osnovna pravila diferenciranja:

1.Izvod zbira (razlike) više funkcija:

Primer:

(x + x²)' = (x)' + (x²)' = 1 · x^1-1 + 2 · x^2-1 = x⁰ + 2x¹ = 1 + 2x 

2.Izvod proizvoda dve funkcije:

[f₁(x) · f₂(x)]' = f₁'(x) · f₂(x) + f₁(x) · f₂'(x) 

Primer:

(3x)' = 3' · x + 3 · x' = 0 · x + 3 · (x¹)' = 0 + 2 · x^1-1 = 3 · x⁰ = 3 · 1 = 3;

(7x - x²)' = 7' · x +7 · x' - (x²)' = 0 · x + 7 · (x¹)' - 2 · x^2-1 = 0 + 7 · x^1-1 - 2 · x1 = 
= 7 · x⁰ - 2 · x = 7 · 1 - 2x = 7 - 2x

3.Izvod količnika dve funkcije:

Primer:
 
 

4.Izvod složene funkcije:

F(x) = g(f(x)) => F'(x) = g'(f(x)) · f'(x) 

Primer:

[(2x + 5)²]' = 2 · (2x + 5) · (2x + 5)' = 2 · (2x + 5) · 2 = 4 · (2x + 5) = 8x + 20 

5.Izvodi višeg reda:

f⁽ⁿ⁾(x) = [f^n-1(x)]' 

Primer:

(x³)" = [(x³)']' = (3x²)' = 6x

(2x² - 3)' = [(2x² - 3)']' = (4x)' = 4 

Definicija 7: Za funkciju y=f(x) koja je definisana u intervalu (a,b) važi:
ako je u tom intervalu f'(x) < 0 => funkcija je monotono opadajuća
ako je u tom intervalu f'(x) > 0 => funkcija je monotono rastuća

Primer 5: Odrediti monotonost funkcije y = 12 - 3x².

Rešenje:

Potrebno je odrediti prvi izvod funkcije, a zatim i intervale u kojima je prvi izvod pozitivan odnosno negativan:

y' = (12 - 3x²)' = 6x => y' > 0 za x > 0 i y' < 0 za x < 0 odakle sledi da je funkcija y = 12 - 3x² opadajuća za x < 0 i rastuća za x > 0.

Definicija 8: Tačka x = a se naziva stacionarna tačka funkcije y = f(x) ako je f'(a) =0, odnosno ako je prvi izvod funkcije f(x) u tački a jednak nuli.

Da li će u stacionarnoj tački a biti i lokalni ekstremum funkcije y=f(x) zavisi od ponašanja drugog izvoda funkcije. U nastavku će biti izložena pravila za određivanje lokalnih ekstremuma funkcije:

1. Prvo je potrebno odrediti stacionarne tačke rešenjem jednačine f'(x) = 0.
2. Zatim u svakoj stacionarnoj tački treba odrediti drugi izvod funkcije f"(x).
3. U stacionarnim tačkama u kojima je drugi izvod funkcije negativan funkcija ima maksimum, a u stacionarnim tačkama u kojima je drugi izvod funkcije pozitivan funkcija ima minimum:

f"(a) < 0 => lokalni maksimum
f"(a) > 0 => lokalni minimum

Primer 6: Odrediti lokalne ekstremume funkcije y = 3 - x².

Rešenje:

Prvo ćemo odrediti prvi izvod funkcije y = 3 - x²
y' = (3 - x²)' = -2x,  a zatim ćemo odrediti u kojoj tački je prvi izvod funkcije jednak nuli:
y' = 0 => -2x = 0 => x = 0 => funkcija ima stacionarnu tačku x=0; da li je ta tačka i lokalni ekstremum odredićemo preko drugog izvoda funkcije:
y" = (y')' = (-2x)' = -2 < 0 => drugi izvod u tački x=2 je manji od nule što znači da funkcija u toj tački ima maksimum; vrednost funkcije za x=2 biće:
y_max = 3 - x2 = 3 - 0 = 3 

Funkcija tražnje

Tražnja predstavlja količinu dobara koju su kupci spremni da kupe po određenoj ceni u određenom vremenskom periodu. Faktori koji u opštem slučaju utiču na tražnju su:

1. preferencije potrošača - različiti ukusi i ocene koje potrošači imaju o stepenu korisnosti proizvoda koji se nude na tržištu;
2. nivo dohotka potrošača - porast odnosno pad dohotka na različite načine utiču na tražnju potrošača;
3. cene supstituta (dobara koja zadovoljavaju slične potrebe) i cene komplementarnih proizvoda (cene dobara koje se troše zajedno sa nekim drugim dobrom);
4. očekivanja u budućnosti - ako se očekuje da će cena dobra u narednom periodu rasti, tražnja za tim dobrom će se povećati.

Za preduzeće je veoma bitno da poznaje svoju funkciju tražnje jer na taj način može i da osmisli strategiju kojom će na tražnju da utiče. Određivanje funkcije tražnje nije jednostavno i iziskuje veliki istraživački napor. Analiza funkcije tražnje može u obzir uzeti više različitih faktora i tada se tražnja analizira pomoću funkcije sa više promenljivih. U našim razmatranjima posmatraćemo tražnju pod uticajem samo jednog faktora - cene proizvoda.

Ako obeležimo tražnju nekog proizvoda sa x, a cenu istog tog proizvoda sa p, onda se zavisnost tražnje za proizvodom x od cene p može izraziti na sledeći način:

x = f₁(p) 

Postoji nekoliko uslova koji se tiču oblasti definisanosti funkcije tražnje:

1. p > 0 => cena je uvek pozitivna,
2. x > 0 => tražnja za nekim proizvodom je uvek pozitivna,
3. x' = f₁'(p) < 0 = >rast cene proizvoda smanjuje njegovu potražnju.

Funkcija tražnje (kriva tražnje) je opadajuća jer odražava obrnutu proporcionalnost između cene i tražene količine - ako cena opada tražnja će rasti i obrnuto, ako cena raste tražnja će opadati.

Primer 7: Funkcija tražnje je x = 100000 - p². Odrediti tražnju za proizvodom x za sledeće vrednosti cene: a) p = 310 ; b) p = 315 ; c) p = 320 . Ispitati monotonost funkcije tražnje.

Rešenje:
a) p = 310 => x = 100000 - 310² => x = 100000 - 96100 = 3900
b) p = 315 => x = 100000 - 315² => x = 100000 - 99225 = 775
c) p = 320 => x = 100000 - 320² => x - 100000 - 102400 = -2400 => iz uslova   sledi da je x = 0, odnosno za cenu p = 320 tražnja x biće jednaka nuli (kupci neće želeti da kupuju proizvod po toj ceni).

Iz prethodnog primera vidimo da je funkcija tražnje opadajuća - za cenu p = 310 iznosila je x = 3900, za cenu p = 315 iznosila je x = 775, a za cenu p = 320 tražnja je bila jednaka nuli (nije bilo tražnje za proizvodom). Zaključak je u skladu sa zakonom tražnje koji glasi: tražnja za nekim ekonomskim dobrom raste sa svakim padom cena, a smanjuje se sa svakim porastom cena.

To će se pokazati i ako ispitamo monotonost funkcije tražnje:
x = 100000 - p² => x' = (100000 - p²)' = -2p=> funkcija je monotono rastuća za p < 0, a monotono opadajuća za p > 0. Međutim, kako je cena uvek pozitivna sledi da će funkcija tražnje x = 100000 - p² biti uvek opadajuća.

Primer 8: Data je funkcija tražnje x=-p²+100p. Odrediti cenu za koju će tražnja biti maksimalna kao i iznos maksimalne tražnje.

Rešenje:

Potrebno je prvo odrediti prvi izvod funkcije tražnje:

x' = (-p² + 100p)' = -2p + 100 

Zatim ćemo odrediti vrednost p za koju će prvi izvod funkcije tražnje biti jednak nuli kako bismo dobili stacionarne tačke:

x' = 0 => -2p + 100 = 0 => -2p = -100 => p = 50  

Da li je za cenu p=50 tražnja maksimalna odredićemo preko drugog izvoda funkcije tražnje; da bi za cenu p=50 tražnja bila maksimalna, potrebno je da drugi izvod funkcije bude manji od nule:

x" = (-2p)' = -2 < 0 => drugi izvod je manji od nule što znači da je tražnja maksimalna kada je cena p=50; maksimalna tražnja iznosiće:

p = 50 => x -50² + 100 · 50 = 2500 => maksimalna tražnja će biti postignuta pri ceni p=50 i iznosiće 2500.

Funkcija ponude

Ponuda predstavlja količinu dobara koju su prodavci spremni da ponude za prodaju po određenoj ceni i u određenom periodu. Faktori koji u opštem slučaju utiču na ponudu dobara su:

1. cena resursa - vrednost troškova proizvodnje;
2. razvijenost tehnologije - sa usavršavanjem tehnoloških procesa raste i sposobnost proizvođača (prodavca) da smanji troškove proizvodnje i poveća efikasnost;
3. cena supstituta - proizvođač mora uzimati u obzir cene po kojima slične proizvode (proizvode koji zadovoljavaju slične potrebe) nudi konkurencija;
4. očekivanja u budućnosti - ako proizvođač predviđa da će tražnja za njegovim proizvodima da se povećava u narednom periodu, on će početi da povećava proizvodnju kako bi bio spremno dočekao za taj porast tražnje.

Analiza funkcije ponude može u obzir uzeti više različitih faktora i tada se ponuda analizira preko funkcija više promenljivih. U našim razmatranjima posmatraćemo ponudu pod uticajem samo jednog faktora - cene proizvoda.

Ako obeležimo ponudu nekog proizvoda sa y, a cenu istog tog proizvoda sa p, onda se zavisnost ponude za proizvodom x od cene y može izraziti na sledeći način:

y = f²(p)

Postoji nekoliko uslova koji se tiču oblasti definisanosti funkcije tražnje:

1. p > 0 => cena je uvek pozitivna,
2. y > 0 =>ponuda nekog proizvoda je uvek pozitivna,
3. y' = f₂'(p) > 0 =>rast cene proizvoda dovodi do povećanja ponude.

Funkcija ponude (kriva ponude) je rastuća jer odražava proporcionalnost između cene i tražene količine - ako cena opada i ponuda će opadati i obrnuto, ako cena raste, proizvođač će biti spreman da ponudi veću količinu proizvoda.

Primer 9: Funkcija ponude je y = p² - 1000. Odrediti ponudu proizvoda y za sledeće vrednosti cene: a) p = 31 ; b) p = 33 ; c) p = 35. Ispitati monotonost funkcije ponude.

Rešenje:
a) p = 31 => y = 31² - 1000 => y = 961 - 1000 = -39 => iz uslova y ≥ 0 sledi da je y = 0, odnosno da se za cenu p = 31 proizvođaču ne isplati da proizvodi proizvod;
b) p = 33 => y = 33² - 1000 => y = 1089 - 1000 = 89
c) p = 35 => y = 35² - 1000 => y = 1225 - 1000 = 225

Iz prethodnog primera vidimo da je funkcija ponude rastuća - za cenu p = 31 iznosila je y = 0, za cenu p = 33 iznosila je y = 89, a za cenu p = 35 ponuda je bila jednaka y = 225. Zaključak je u skladu sa zakonom ponude koji glasi: ponuda nekog ekonomskog dobra raste sa svakim rastom cena, a smanjuje se sa svakim padom cena.

To će se pokazati i ako ispitamo monotonost funkcije ponude preko znaka prvog izvoda:
y' = (p² - 1000)' = 2p => funkcija je monotono rastuća za p > 0, a monotono opadajuća za p<0. Međutim, kako je cena uvek pozitivna, sledi da će funkcija ponude y = p² biti uvek rastuća (y' = (p² - 1000)' = 2p > 0 za p > 0).

Primer 10: Data je funkcija ponude y=p²-80p. Odrediti cenu za koju će ponuda biti maksimalna kao i iznos maksimalne ponude.

Rešenje:

Potrebno je prvo odrediti prvi izvod funkcije ponude:
y' = (p² - 80p) = 2p - 80
Zatim ćemo odrediti vrednost p za koju će prvi izvod funkcije ponude biti jednak nuli kako bismo dobili stacionarne tačke:
y' = 0 => 2p - 80 = 0 => 2p + 80 => p = 40
Da li je za cenu p=40 ponuda maksimalna odredićemo preko drugog izvoda funkcije ponude; da bi za cenu p=40 ponuda bila maksimalna, potrebno je da drugi izvod funkcije bude veći od nule:
y" = (2p)' = 2 > 0 => drugi izvod je veći od nule što znači da je ponuda minimalna kada je cena p=40; ova funkcija ponude nema maksimum zato što za sve vrednosti cene p preko 80 ponuda će neprekidno rasti. To možemo pokazati na sledeći način:
y = p² - 80p = p(p - 80) => cena i ponuda su uvek pozitivne zbog čega će ponuda postojati tek za vrednosti cene veće od 80 (za vrednosti cene manje od 80 ponuda je negativna što je u suprotnosti sa pretpostavkama).

Kada se zakon tražnje i zakon ponude iskažu zajedno dolazimo do zakona tržišta koji glasi: sa opadanjem cena raste tražnja i opada ponuda, a sa rastom cena opada tražnja i raste ponuda. Kupci imaju interes da cene proizvoda budu što niže, a proizvođači da cene proizvoda budu što više. Tržišni mehanizam pomoću svog glavnog instrumenta - ravnotežne cene uspostavlja ravnotežu između interesa proizvođača (prodavaca) i interesa kupaca. Ravnotežna cena je ona cena po kojoj se ponuđena količina dobara na tržištu izjednačava sa traženom količinom. Dakle, ako su date funkcije ponude i tražnje za jednim proizvodom, onda se tržišna ravnoteža određuje iz sledeće funkcionalne zavisnosti:

y = x odnosno f₁(p) = f₂(p) 

Primer 11: Ako su date funkcija tražnje x = 10 _2p i funkcija ponude y = -5 +3p. Odrediti ravnotežnu cenu i odrediti traženu odnosno ponuđenu količinu proizvoda.

Rešenje:

Ravnotežna cena određena je relacijom y = x tako da sledi:

10 - 2p = -5 +3p => -2p - 3p = -5 - 10 => -5p = -15 => -15/-15 => p = 3

Ravnotežna cena je p_r = 3.
Kada je na tržištu uspostavljena ravnotežna cena onda je ponuda jednaka tražnji. To znači da je ponuđena i tražena količina proizvoda jednaka:
p_r = 3 => x = 10 - 2p_r = 10 - 2 · 3 = 10 - 6 = 4 => ravnotežna tražnja iznosi 4
p_r = 3 => y = -5 + 3p_r = -5 + 3 · 3 = -5 + 9 = 4 => ravnotežna ponuda iznosi 4.

Primer 12: Date su funkcija tražnje x = 128/p i funkcija ponude y = (1/4)p² . Odrediti ravnotežnu cenu i tražene odnosno ponuđene količine pri toj ceni.

Rešenje:

Ravnotežna cena određena je relacijom   tako da sledi:

ravnotežna cena iznosi pr=8
Ravnotežna ponuda i tražnja biće: